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Bonjour

J'ai du mal avec Exercice 8

Exemple 3 On constitue une file d’attente en attribuant au hasard des numéros d’ordre à n personnes.
On demande la probabilité pour que deux amis soient distants de r places.
On suppose 1<r <n − 1, sinon la probabilité demandée est bien sûr égale à 0.

Exercice 8 On reprend la file d’attente décrite dans l’exemple 3 et on note X la variable aléatoire
égale à la distance entre les deux amis. Quelle est la distance moyenne entre deux amis? Donner également sa variance.

Mon question est pour calculer l'espérance(distance moyenne entre deux amis) il faut conne la loi de X
j’hésite entre Loi Hypergéométrique et Loi Binomiale ...

Merci en avance

Bonjour

Votre texte me pose un problème. L'inégalité portant sur $r$, n'est-elle pas une inégalité au sens large, c'est-à-dire n'est ce pas plutôt : $1\leq r \leq (n-1)$ ?
Sinon je ne comprends pas vraiment ce que le texte veut dire.

désolé c'est bien 1≤r≤(n−1)
Mon question est comment résoudre Exercice 8 ?

La loi de X n'est pas une loi classique donc il faut faire les calculs en revenant aux définitions.
J'ai trouvé : $P(X=r)=\frac{n-r}{n\choose 2}=\frac{2(n-r)}{n(n-1)}$

$E(X)=\sum_{r=1}^{n-1} E(X=r)\cdot r=\sum_{r=1}^{n-1}\frac{2r(n-r)}{n(n-1)}=\frac{2}{n(n-1)}\left(n\sum_{r=1}^{n-1}r -\sum_{r=1}^{n-1}r^2\right)$
$\sum_{r=1}^{n-1} r =\frac{(n-1)(n-1+1)}{2}$ et $\sum_{r=1}^{n-1}r^2=\frac{(n-1)(n-1+1)(2(n-1)+1)}{6}=\frac{(n-1)(n)(2n-1)}{6}$
$E(X)=\frac{2}{n(n-1)} \left(\frac{n^2(n-1)}{2}-\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}\right)=n-\frac{2n-1}{3}=\frac{n+1}{3}$

$V(X)=E(X^2)-(E(X))^2$
$E(X^2)=\sum_{r=1}^{n-1} E(X=r)\cdot r^2=\sum_{r=1}^{n-1}r^2\times \frac{2(n-r)}{n(n-1)}=\frac{2}{n(n-1)}\left(n\sum_{r=1}^{n-1} r^2-\sum_{r=1}^{n-1}r^3\right)$
$\sum_{r=1}^{n-1} r^3=\frac{(n-1)^2(n-1+1)^2}{4}=\frac{n^2(n-1)^2}{4}$
$n\sum_{r=1}^{n-1} r^2-\sum_{r=1}^{n-1}r^3=\frac{n^2(n-1)(2n-1)}{6}-\frac{n^2(n-1)^2}{4}=\frac{n^2(n-1)[(4n-2)-(3n-3)]}{12}=\frac{n^2(n-1)(n+1)}{12}$
$E(X^2)=\frac{2}{n(n-1)}\times \frac{n^2(n-1)(n+1)}{12}=\frac{n(n+1)}{6}$
$V(X)=\frac{n(n+1)}{6}-\frac{(n+1)^2}{9}=\frac{(n+1)(3n-2(n+1))}{18}=\frac{(n+1)(n-2)}{18}$

wow merci
Alors |X| | | | | |X| | n=8 ,r=5
donc (n-r) corresponde a quoi?

Pour dénombrer les cas favorables, dans la paire d'amis, je considère celui qui a le plus petit numéro, l'autre ayant la place $n+r$
Pour $r=1$, le premier peut occuper toutes places de 1 à $(n-1)$ donc $(n-1)$ dispositions possibles.
Pour $r=2$, le premier peut occuper toutes places de 1 à $(n-2)$ donc $(n-2)$ dispositions possibles.
et ainsi de suite
Pour $r=n-1$, le premier doit nécessairement occuper la place 1 et l'autre occupe alors la place $n$ donc une seule disposition.

Exemple : si $n=8$ et $r=5$, on peut avoir les places 1 et 6, 2 et 7, 3 et 8 donc 3 dispositions pour la paire d'amis.
Et le nombre total de dispositions possibles est le nombre de combinaisons de 2 éléments à prendre parmi 8 soit ${8\choose 2}=C_8^2=28$
Donc $P(X=5)=\frac{3}{28}=\frac{2\times 3}{8\times 7}$