série de tirages aléatoires
Publié : 19 juin 2015, 09:33
Bonjour à tous!
J'essaye de traiter ce sujet, mais sans grand succès:
Une urne contient initialement une boule blanche et une boule noire. On effectue une série de
tirages aléatoires d’une boule jusqu’à obtenir une boule noire. A chaque tirage amenant une
boule blanche, on replace la boule blanche tirée, puis on multiplie par 2 le nombre de boules
blanches présentes dans l’urne après la remise de la boule, puis on procède au tirage suivant.
Soit X la variable aléatoire égale au rang du tirage amenant une boule noire (si on obtient la
boule noire), et qui vaut 0 si on n’obtient jamais de boule noire.
L’objectif de l’exercice est d’évaluer la probabilité de ne jamais obtenir de boule noire, et de
déterminer en particulier si cette probabilité est nulle.
1) Pour tout entier naturel n non nul, on note B_n l’événement : « les n premiers tirages ont
eu lieu et n’ont donné que des boules blanches », et on note u_n = P(B_n ).
a) Montrer que pour tout entier naturel n non nul : u_n=Produit de k=0 à n-1 [2^k/(1+2^k]
Puis je modéliser de la façon suivante l'événement B_n=(B_1) et (B_2 sachant B_1) et .....et (B_n sachant B_(n-1)) ?
J'essaye de traiter ce sujet, mais sans grand succès:
Une urne contient initialement une boule blanche et une boule noire. On effectue une série de
tirages aléatoires d’une boule jusqu’à obtenir une boule noire. A chaque tirage amenant une
boule blanche, on replace la boule blanche tirée, puis on multiplie par 2 le nombre de boules
blanches présentes dans l’urne après la remise de la boule, puis on procède au tirage suivant.
Soit X la variable aléatoire égale au rang du tirage amenant une boule noire (si on obtient la
boule noire), et qui vaut 0 si on n’obtient jamais de boule noire.
L’objectif de l’exercice est d’évaluer la probabilité de ne jamais obtenir de boule noire, et de
déterminer en particulier si cette probabilité est nulle.
1) Pour tout entier naturel n non nul, on note B_n l’événement : « les n premiers tirages ont
eu lieu et n’ont donné que des boules blanches », et on note u_n = P(B_n ).
a) Montrer que pour tout entier naturel n non nul : u_n=Produit de k=0 à n-1 [2^k/(1+2^k]
Puis je modéliser de la façon suivante l'événement B_n=(B_1) et (B_2 sachant B_1) et .....et (B_n sachant B_(n-1)) ?