Math-Aide

Bonjour,
J’ai besoin de votre aide pour cet exercice s’il vous plaît.
Merci d’avance

Bonjour Thamirah

1) $\displaystyle F_X(x)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^x f(t) dt$
* si $x\leq 0, F_X(x)=0$
* si $\displaystyle 0\leq x \leq 1, F_X(x)=\int_0^x tdt=\frac{1}{2} x^2$
* si $\displaystyle 1\leq x\leq 2 , F_X(x) = \int_0^1 t dt +\int_1^x (2-t)dt$
$\displaystyle \frac{1}{2}+[2t +\frac{1}{2} t^2]_1^x=-\frac{1}{2} x^2 +2x-1$
* si $x\geq 2, F_X(x)=1$

2) $\displaystyle E(X)=\int_{\mathbb R} tf(t)dt$
$\displaystyle E(X)=\int_0^1 t^2 dt +\int_1^2 t(2-t)dt$
(calculs sans difficultés, j'ai trouvé 1)

$\displaystyle V(X)=\int_{\mathbb R}(t-E(X))^2 f(t) dt$
(Calculs de primitives sans difficultés)

3) $|X-1|\leq \frac{1}{2} \Longleftrightarrow -\frac{1}{2} \leq X-1\leq \frac{1}{2} \Longleftrightarrow \frac{1}{2} \leq X \leq \frac{3}{2}$

$\displaystyle P(|X-1|\leq \frac{1}{2})=\int_{\frac{1}{2}}^1 t dt +\int_1^{\frac{3}{2}} (2-t)dt$