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Bonjour

On tire simultanément 3 jetons parmi 5 donc le nombre de tirages possibles est $\displaystyle {5\choose 3}=10$ et les tirages sont équiprobables.
$U$ peut prendre les valeurs {1,2,3} et $V$ peut prendre les valeurs {3,4,5}

$(U,V)=(1,3)$ uniquement avec le tirages {1,2,3} donc $\displaystyle P((U,V)=(1,3))=\frac{1}{10}$

$(U,V)=(1,4)$ avec les tirages {1,2,4} et {1,3,4} donc $\displaystyle P((U,V)=(1,4))=\frac{2}{10}$

Et on continue à raisonner ainsi, ce qui donne :
$\displaystyle P((U,V)=(1,5))=\frac{3}{10}$ ; $\displaystyle P((U,V)=(2,4))=\frac{1}{10}$ ; $\displaystyle P((U,V)=(2,5))=\frac{2}{10}$ ; $\displaystyle P((U,V)=(3,5))=\frac{1}{10}$

Lois marginales :
$\displaystyle P(U=1)=P((U,V)=(1,3))+P((U,V)=(1,4))+P((U,V)=(1,5))=\frac{6}{10}$
Avec le même raisonnement on obtient :
$\displaystyle P(U=2)=\frac{3}{10}$ ; $\displaystyle P(U=3)=\frac{1}{10}$
$\displaystyle P(V=3)=\frac{1}{10}$ ; $\displaystyle P(V=4)=\frac{3}{10}$ ; $\displaystyle P(V=5)=\frac{6}{10}$

L'espérance et la variance se calculent avec les formules habituelles.

Par exemple : $\displaystyle P(U=2)\times P(V=4)=\frac{9}{100}\neq P((U,V)=(2,4))$ donc les variables ne sont pas indépendantes.

Mercii beaucoup