Dm proba
Publié : 28 avril 2017, 09:42
Un jeu consiste à déplacer un jeton autour des sommets d'un carré AGBP à l'aide d'un dé. À chaque tour,le joueur lance le dé et déplace le jeton du nombre de sommets donné par le dé, dans le sens horaire ; le joueur joue jusqu'à tomber sur G, et alors il a gagné, ou jusqu'à tomber sur P , auquel cas il a perdu. Le joueur J choisit de partir du sommet A, et le joueur J′ du sommet B . Considérons les événements :
• An (resp. Bn, Pn, Gn) : après n lancers du dé, le joueur J se trouve en A (resp. en B , en P , en
G) .
On note an, bn, pn, gn les probabilités des événements respectifs.
• GJ (resp. GJ′ ) : le joueur J (resp. J′) finit par gagner
1. Calculer a1, a2, b1, b2, g1, g2, p1 et p2 .
2. a) Démontrer soigneusement que pour tout entier n ∈ N∗:
an+1 =1/6an +1/3bn et bn+1 =1/3an +1/6bn
b) Reconnaître la nature des suites (an + bn) et (an − bn). En déduire les expressions explicites de an
et bn pour tout entier n ∈ N∗
.
3. Exprimer, pour tout n ∈ N∗, gn en fonction de an−1 et bn−1 . En déduire :
∀n ∈ N∗, gn =(1/2)^n+1-1/2(-1/6)^n
4. Calculer alors la probabilité P(GJ). On commencera par exprimer l'événement GJ en fonction des
événements Gn.
5. Calculer par une méthode similaire, la probabilité que le joueur J finisse par perdre.
6. Quelle est la probabilité que la partie du joueur J ne se termine jamais ?
7. On veut ici calculer P(GJ) par une autre méthode.
a) En appliquant la formule des probabilités totales avec le système complet d'événements associé au
premier déplacement du joueur, montrer que :
5/6P(GJ ) = 1/3PB1(GJ ) + 1/3
Prouver de même :
P(GJ′) = 2/5PA1(GJ′) + 1/5
bonjour je suis coincée pour ces questions est-il possible de m'expliquer merci d'avance
• An (resp. Bn, Pn, Gn) : après n lancers du dé, le joueur J se trouve en A (resp. en B , en P , en
G) .
On note an, bn, pn, gn les probabilités des événements respectifs.
• GJ (resp. GJ′ ) : le joueur J (resp. J′) finit par gagner
1. Calculer a1, a2, b1, b2, g1, g2, p1 et p2 .
2. a) Démontrer soigneusement que pour tout entier n ∈ N∗:
an+1 =1/6an +1/3bn et bn+1 =1/3an +1/6bn
b) Reconnaître la nature des suites (an + bn) et (an − bn). En déduire les expressions explicites de an
et bn pour tout entier n ∈ N∗
.
3. Exprimer, pour tout n ∈ N∗, gn en fonction de an−1 et bn−1 . En déduire :
∀n ∈ N∗, gn =(1/2)^n+1-1/2(-1/6)^n
4. Calculer alors la probabilité P(GJ). On commencera par exprimer l'événement GJ en fonction des
événements Gn.
5. Calculer par une méthode similaire, la probabilité que le joueur J finisse par perdre.
6. Quelle est la probabilité que la partie du joueur J ne se termine jamais ?
7. On veut ici calculer P(GJ) par une autre méthode.
a) En appliquant la formule des probabilités totales avec le système complet d'événements associé au
premier déplacement du joueur, montrer que :
5/6P(GJ ) = 1/3PB1(GJ ) + 1/3
Prouver de même :
P(GJ′) = 2/5PA1(GJ′) + 1/5
bonjour je suis coincée pour ces questions est-il possible de m'expliquer merci d'avance