Math-Aide

Bonjour;

Je sais parfaitement résoudre des systèmes du 1er degré, mais en faite je n'arrive pas à comprendre et par ou commencer...

Calculer de façons différentes la quantité delta qui correspond à une matrice 3*3
1 1+i -i
2 1 2
4i 2 -1

Bonsoir

Je pense que c'est le déterminant que tu veux calculer.

* En développant suivant la première colonne :
$\Delta =1\cdot \begin{vmatrix}1&2\\2&-1\end{vmatrix}-2\cdot \begin{vmatrix}1+i&-i\\2&-1\end{vmatrix}+4i \cdot\begin{vmatrix}1+i&-i\\1&2\end{vmatrix}$
$\Delta = (-1-4)-2(-1-i+2i) +4i(2+2i+i)=-5+2-2i+8i-12=-15+6i$

* En développant suivant la première ligne :
$\Delta =1\cdot \begin{vmatrix}1&2\\2&-1\end{vmatrix} - (1+i)\cdot \begin{vmatrix}2&2\\4i&-1\end{vmatrix} + (-i)\cdot \begin{vmatrix}2&1\\4i&2\end{vmatrix}$
$\Delta =(-1-4) -(1+i)(-2-8i)+(-i)(4-4i)=-5+2+8i+2i-8-4i-4=-15+6i$

* Par la règle de Sarrus :
$1\times 1 \times 1 +(1+i)(2)(4i)+(-i)(2)(2)-1\times 2 \times 2 -2(1+i)(-1)-(4i)(1)(-i)=-15+6i$

Une autre méthode par combinaison linéaire des lignes.

$L_2$ reçoit $L_2-2L_1$ et $L_3$ reçoit $L_3-4iL_1$. On obtient alors :

$\begin{vmatrix}1&1+i&-i\\0&-1-2i&2+2i\\0&6-4i&-5\end{vmatrix}$

$L_3$ reçoit $L_3-\frac{6-4i}{-1-2i}L_2=L_3+\frac{6-4i}{1+2i}L_2$. On obtient alors :

$\begin{vmatrix}1&1+i&-i\\0&-1-2i&2+2i\\0&0&\frac{15-6i}{1+2i}\end{vmatrix}$

On a alors $\Delta= 1(-1-2i)(\frac{15-6i}{1+2i})=-15+6i$