Math-Aide

Bonjour!
A toute fonction f appartenant à l'ensemble Co(R) des fonctions continues sur R on associe phi(f)(x)=intégrale de x-1 à x de f(t)dt.
J'ai démontré que phi est un endomorphisme de Co(R).
En suite, on suppose f paire (respectivement impaire) et on demande d'exprimer phi(f)(-x) en fonction de phi(f)(x+1) et de déduire une symétrie de la courbe représentative de phi.
Je tourne en rond pour trouver un bon changement de variable, sans aboutir.... Merci de votre aide!

Bonjour

$\phi(f)(-x)=\int_{-x-1}^{-x}f(t)dt$
Avec le changement de variable $u=-t$, $\phi(f)(-x)=\int_{x+1}^x-f(-u)du=\int_x^{x+1}f(-t)dt$
$\phi(f)(x+1)=\int_x^{x+1} f(t) dt$

Si $f$ est paire, $\phi(f)(-x)=\int_x^{x+1} f(t) dt =\phi(f)(x+1)$

Si $f$ est impaire, $\phi(f)(-x)=-\int_x^{x+1} f(t)dt =-\phi(f)(x+1)$

Merci pour ta réponse...Présenté ainsi c'est clair comme de l'eau de roche!!!
3) La question suivante se propose d'étudier l'endomorphisme induit par phi sur Rn[X]
Pour tout k appartenant à N, on note Pk le polynôme X^k , et en particulier Po=1
3ai) montrer que phi(Pk) est un polynôme dont on précisera le degré ?

J'ai pris (a_0, a_1,...,a_k) appartenant à R^k et P=somme de i=0 à k de [a_i*X^i] et j'ai essayé de calculer phi(Pk).
ça me donne des calculs compliqués... Suis je sur la bonne piste? D'autant que la question suivante est de montrer que Rn[X] est stable par phi ????

$\phi(P_k)(x)=\frac{1}{k+1}(x^{k+1}-(x-1)^{k+1})$
En développant avec le formule du binôme :
$\phi(P_k)(x)=\frac{1}{k+1} (x^{k+1}-\sum_{j=0}^{k+1} {k+1\choose j} x^j(-1)^{k+1-j})$
$\phi(P_k)(x)=\frac{1}{k+1}(-\sum_{j=0}^k {k+1\choose j}x^j(-1)^{k+1-j})$
C'est donc un polynôme de degré k ce qui démontre la stabilité de ${\mathbb R}_n([X]$

Bonjour!
Merci pour ta réponse d'hier...
J'ai confondu le polynôme Pk=X^k et un polynôme de R_k[X]=a_0+a_1.X+a_2.X²+.....+a_k.X^k ...

Dans la question (5), on considère tout réel non nul lambda et l'ensemble E(lambda) défini par E(lambda)={f appartenant à Co(R) telle que phi(f)=lambda*f}
5a) j'ai montré que si f appartient à E(lambda) alors f est de classe Cinfini sur R
5b) on demande de montrer pour tout lambda >0 qu'il existe une unique fonction exponentielle f_a: x->exp(ax) telle que f_a appartient à E(lambda). On distinguera les cas lambda=1 et lambda <>1.

J'ai essayé de traiter cette question, et je trouve 2 cas à distinguer: soit a<>0 soit a=0... je ne comprends pas pourquoi on demande de distinguer les cas lambda=1 et lambda <>1 ???

Si $a=0$, $\phi (f_0)=1$ donc $f_0 \in E(1)$

Si $a \neq 0$, $\phi (f_a)=\frac{1}{a}(e^{ax}-e^{a(x-1)})=\frac{1}{a} e^{ax} (1-e^{-a})$
$\frac{1}{a} e^{ax} (1-e^{-a})=\lambda e^{ax} \Longleftrightarrow \frac{1}{a} (1-e^{-a})=\lambda $
Il faut donc démontrer que l'équation $e^{-a}+\lambda a -1$ (E) possède une solution unique.

On étudie la fonction $g$ définie sur $\mathbb R$ par $g(t)=e^{-t} +\lambda t -1$
$g'(t)=-e^{-t}+\lambda$
La fonction $g$ admet un minimum pour $t=-\ln \lambda$, $g(-\ln \lambda)=\lambda -\lambda \ln \lambda -1$ et elle a comme limites $+\infty$ en $\pm \infty$

Si $\lambda =1$, le minimum est nul donc l'équation (E) admet comme unique solution $-\ln 1=0$ qu'on a exclu dans ce calcul mais qu'on a trouvé en préalable.

Ce cas étant maintenant exclu, on a toujours $g(0)=0$ donc le minimum est strictement négatif et compte tenu de la continuité et des variations de $g$, on déduit que l'équation (E) admet une seconde solution non nulle donc pour $\lambda\neq 1$, il existe une valeur de $a$ et une seule telle que $f_a \in E(\lambda)$.