nombre,application.
Publié : 14 mai 2014, 07:35
Salut,j'ai fais cet exercice:
Exercice 10
Soit f : R^3 → R^3 définie par f(x, y,z) = (x + y, x − y, x + λz)
2. Comment choisir λ pour que f(.) soit injective? surjective?
Soit f une application de E dans F.
f est injective ssi, quelque sois x et y, f(x)=f(y)=f(z) => x=y=z.
Donc soit x,y dans R et z dans R.
Citation:
f(x,y,z)=f(x',y',z') <=> (x+y,x-y,x+λz)=(x'+y',x'-y',x'+λz')=(x"+y",x"-y",x"+λz")<=>
{x+y=x'+y'=x"+y"
{x− y=x' −y'=x"−y"
{x+λz=x'+λz'=x"+λz" donc:
(x,y,λz)=(x',y',λz')=(x",y",λz"). <=>x=x'=x",y=...
Et f est injective si Ker(f)={0E}
Cependant quand je résous le système:
{x+y=0
{x− y=0
{x+λz=0
Je trouve comme solution(0,0,0) pas sûr que c'est bon) et on m'a dit qu'il faut que λ soit différent de 0 pour que f soit injective,mais je ne comprend pas pourquoi.
Exercice 10
Soit f : R^3 → R^3 définie par f(x, y,z) = (x + y, x − y, x + λz)
2. Comment choisir λ pour que f(.) soit injective? surjective?
Soit f une application de E dans F.
f est injective ssi, quelque sois x et y, f(x)=f(y)=f(z) => x=y=z.
Donc soit x,y dans R et z dans R.
Citation:
f(x,y,z)=f(x',y',z') <=> (x+y,x-y,x+λz)=(x'+y',x'-y',x'+λz')=(x"+y",x"-y",x"+λz")<=>
{x+y=x'+y'=x"+y"
{x− y=x' −y'=x"−y"
{x+λz=x'+λz'=x"+λz" donc:
(x,y,λz)=(x',y',λz')=(x",y",λz"). <=>x=x'=x",y=...
Et f est injective si Ker(f)={0E}
Cependant quand je résous le système:
{x+y=0
{x− y=0
{x+λz=0
Je trouve comme solution(0,0,0) pas sûr que c'est bon) et on m'a dit qu'il faut que λ soit différent de 0 pour que f soit injective,mais je ne comprend pas pourquoi.