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Bonjour, en fait je n'arrive pas à commencer un exercice où il faut démontrer que (somme xi yi)² < (somme xi²) (somme yi)²
j'ai une petite idée de comment faire mais en fait je me demandai si: (somme xi²) (somme yi)² = somme (xi+yi)² ???
J'espère que vous pourrez me renseigner. Merci d'avance.
Bonne journée

Emilie

Bonjour

L'inégalité qu'on vous demande de démontrer est une forme de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Démonstration : On considère le polynôme de la variable $\lambda$ : $P(\lambda)=\sum_{i=1}^n (\lambda x_i + y_i)^2$
$P(\lambda)=\sum_{i=1}^n (\lambda^2x_i^2+2\lambda x_iy_i +y_i^2)=\lambda^2\sum_{i=1}^nx_i^2+2\lambda \sum_{i=1}^nx_iy_i+\sum_{i=1}^n y_i^2$
Ce trinôme en $\lambda$ est toujours positif puisque, par définition, c'est une somme de carrés donc son discriminant est négatif.
$\Delta =4[\sum_{i=1}^n x_iy_i]^2 -4\sum_{i=1}^n x_i^2\sum_{i=1}^n y_i^2< 0$
D'où $(\sum_{i=1}^n x_iy_i)^2< \sum_{i=1}^nx_i^2\sum_{i=1}^ny_i^2$

Par contre l'égalité $(\sum_{i=1}^n x_i^2)(\sum_{i=1}^n y_i^2)=\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)^2$ est fausse.
Un contre-exemple : pour $n=2$, prenez $x_1=1,\ x_2=2,\ y_1=-1,\ y_2=3$ et on voit qu'il n'y a pas égalité.

Merci beaucoup job, j'ai comprendre et j'ai reussi a faire l'exercice!! C'est top, merci encore, bonne apres midi a vous.