Math-Aide

Bonjour,

Est ce que quelqu'un sait comment on applique l'algorithme du rang pour determiner par exemple une dimension..., generalement c'est l'algorithme du rang et sa methode.?

Cordialement.

Bonjour

C'est une application du pivot de Gauss, on cherche à obtenir une matrice triangulaire de même rang.
Je prends 2 exemples.
1) $A=\left(\begin{matrix}2 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & -1\end{matrix}\right)$
On conserve $a_{11}$ qui est non nul et on veut que les autres termes de la premier colonne soient nuls. On fait donc $L_3 \leftarrow L_3-L_1$.
On obtient $\left(\begin{matrix}2 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -4\end{matrix}\right)$
On recommence le même procédé sur la matrice extraite : $\left(\begin{matrix}1 & 1 \\ -2 & -4\end{matrix}\right)$
On fait donc $L_3\leftarrow L_3+2L_2$ ce qui donne $\left(\begin{matrix}2 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix}\right)$
Aucun des termes diagonaux n'est nul, la matrice est de rang 3.

2) $A=\left(\begin{matrix}0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 2\end{matrix}\right)$
Comme le terme $a_{11}$ est nul, il faut commencer par permuter 2 lignes, par exemple les lignes 1 et 2.
On obtient $\left(\begin{matrix}-1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 2\end{matrix}\right)$
$L_3\leftarrow L_3+L_1 $ on obtient $\left(\begin{matrix}-1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \\0 & 1 & 1\end{matrix}\right)$
On recommence le même procédé sur la matrice extraite $\left(\begin{matrix}-1 & -1 \\ 1 & 1\end{matrix}\right)$
$L_3\leftarrow L_3+L_2$ on obtient $\left(\begin{matrix}-1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \\0 & 0 & 0\end{matrix}\right)$
La dernière ligne est nulle donc la matrice est de rang 2.

Bonjour,

Je parle pas de ca mais je vais te donner un corrigé d'examens ou ils ont utilisé cet algorithme.

http://formation.u-psud.fr/courses/L1MP ... PI20092010

- La Question 2 Exo 1