Math-Aide

Bonjour,
Pouvez-vous m’aider pour cet exercice s’il vous plaît.
Merci

On considère les nombres complexes j = cos (2pi/3) + isin (5pi/3) et u = 1+j.

1.1- Démontrer que j^3=1 et que 1 + j + j^2=0
1.2- Calculer u^k, pour tout k appartenant à {0,1,2, 3, 4,5,6}, en fonction de 1, de -1, de j et de -j.
1.3- Démontrer que la famille (1, j) est une base du R-espace vectoriel C.

Bonjour Thamirah

N'y a-t-il pas une erreur dans le texte ?

Habituellement, $j$ est le complexe $\cos (\frac{2\pi}{3}) +i \sin (\frac{2\pi}{3})$ et non $\frac{5\pi}{3}$

Oui c’est plutôt cos(2pi/3)+isin(2pi/3)

Le plus simple est d'utiliser la forme exponentielle de $j$

$j=e^{i.\frac{2\pi}{3}}$

$j^3=e^{i2\pi}=1$

$1+j+j^2$ est la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique donc :
$1+j+j^2=\frac{1-j^3}{1-j}=0$

Avec la forme exponentielle, vous devez arriver à faire la suite.