Page 1 sur 1
Congruence nombre premier
Publié : 10 mai 2023, 13:39
par Marc32
Bonjour Job, j'ai essayé de répondre au premier question de cet exercice(partie 1).
https://zupimages.net/viewer.php?id=23/19/dgux.png
Pourrais tu le corrigé stp?
voici mes réponses :
https://zupimages.net/viewer.php?id=23/19/d74t.jpeg
Re: Congruence nombre premier
Publié : 10 mai 2023, 16:53
par Job
Bonjour Marc
Tu as bien vu le raisonnement mais pas toujours très bien rédigé mais ce n'est pas très commode à rédiger. Voila ma rédaction.
1. $p$ et $a$ sont premiers entre eux.
D'après le théorème de Gauss : $p$ premier avec $a$ donc $p$ divise $ka$ si et seulement si $p$ divise $k$
$p$ est premier et $1\leq k\leq p-1$ donc $p$ ne divise aucun nombre $k$ avec $1\leq k \leq p-1$ donc d'après le raisonnement précédent $p$ ne divise aucun $ka$ avec $1\leq k \leq p-1$
2. a. En considérant la division euclidienne par $p$ on a : $ia=pq+a_i$ avec $0\leq a_i\leq p-1$
$a_i=0$ implique $p$ divise $ia$ en contradiction avec la question 1. donc les $ia$ sont non nuls.
Les éléments de $A$ étant 2 à 2 distincts les $a_i$ sont 2 à 2 distincts.
b. Les $a_i$ sont $(p-1)$ entiers compris entre 1 et $p-1$, 2 à 2 distincts donc ce sont les entiers compris au sens large entre 1 et $p-1$
Re: Congruence nombre premier
Publié : 03 juin 2023, 20:11
par Marc32
Job a écrit : ↑10 mai 2023, 16:53
Bonjour Marc
Tu as bien vu le raisonnement mais pas toujours très bien rédigé mais ce n'est pas très commode à rédiger. Voila ma rédaction.
1. $p$ et $a$ sont premiers entre eux.
D'après le théorème de Gauss : $p$ premier avec $a$ donc $p$ divise $ka$ si et seulement si $p$ divise $k$
$p$ est premier et $1\leq k\leq p-1$ donc $p$ ne divise aucun nombre $k$ avec $1\leq k \leq p-1$ donc d'après le raisonnement précédent $p$ ne divise aucun $ka$ avec $1\leq k \leq p-1$
2. a. En considérant la division euclidienne par $p$ on a : $ia=pq+a_i$ avec $0\leq a_i\leq p-1$
$a_i=0$ implique $p$ divise $ia$ en contradiction avec la question 1. donc les $ia$ sont non nuls.
Les éléments de $A$ étant 2 à 2 distincts les $a_i$ sont 2 à 2 distincts.
b. Les $a_i$ sont $(p-1)$ entiers compris entre 1 et $p-1$, 2 à 2 distincts donc ce sont les entiers compris au sens large entre 1 et $p-1$
Salut Job j'ai essayé de terminé la première partie des question, tu me dira ce que tu en pense stp:
Question 3)
Le produit de tous les éléments de A est P = a * 2a * ... * (p - 1)a. Cela peut être réécrit comme P = (1 * 2 * ... * (p - 1)) * a^(p - 1). Le produit 1 * 2 * ... * (p - 1) est égal à (p - 1)! (factorielle).
De plus, nous savons que pour chaque i, ai est congru à i modulo p (c'est-à-dire ai ≡ i (mod p)). Par conséquent, a^(p - 1) est congru à p
La partie 2 j'y réfléchi ce soir
