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Séries numériques
Publié : 03 décembre 2021, 20:53
par Thamirah17
Bonsoir,
J’ai besoin de votre aide pour cet exercice s’il vous plaît..
Merci d’avance
Re: Séries numériques
Publié : 04 décembre 2021, 15:19
par Job
Bonjour Thamirah
1) $u_k\sim \frac{k^2}{k^4}=\frac{1}{k^2}$ terme d'une série de Riemann convergente donc la série converge.
2) $u_k=\frac{1}{k^2}+\frac{\ln (k)}{k^3}$
La série $\sum \frac{1}{k^2}$ est une série de Riemann convergente.
$\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\frac{\ln (k)}{k}=0$ donc à partir d'un certain rang, $\frac{\ln (k)}{k}<1$
Donc $\frac{\ln (k)}{k^3}= \frac{1}{k^2} \frac{\ln (k)}{k}<\frac{1}{k^2}$
Donc la série $\displaystyle \sum \frac{\ln (k)}{k^3}$ converge.
La somme de 2 séries convergentes est convergente.
3) Pour $k>3,\ \frac{\ln(k)}{k}>\frac{1}{k}$
$\sum \frac{1}{k}$ est une série de Riemann divergente donc la série diverge.