Math-Aide

Bonjour,
J’ai besoin de votre aide pour cet exercice s’il vous plaît..
Merci

Bonjour Thamirah

Les solutions de l'équation sans second membre sont les fonctions définies par $x(t)=ke^{-t}$

a) On cherche une solution particulière de la forme $x(t)=a\cos t +b\sin t$
$x'(t)=-a\sin t +b\cos (t)$
$x'(t)+x(t) =(a+b)\cos t +(b-a)\sin t$
$x'(t)+x(t) =\cos t$ pour $a+b=1$ et $b-a=0$ donc $a=b=\frac{1}{2}$
$x(t)=\frac{1}{2} \cos t +\frac{1}{2} \sin t$ est une solution particulière

Les solutions sont les fonctions définies par $x(t)=ke^{-t} +\frac{1}{2} \cos t +\frac{1}{2} \sin t\ (k\in {\mathbb R})$
$x(0)=1$ soit $k+\frac{1}{2} =1$ soit $k=\frac{1}{2}$

Solution cherchée : $x(t)=\frac{1}{2}e^{-t} +\frac{1}{2} \cos t +\frac{1}{2} \sin t$

b) Méthode de la variation de la constante :
$x'(t)+x(t) =k'e^{-t} -ke{-t} +ke^{-t}=te^t$ donc $k'=\frac{te^t}{e^{-t}}=te^{2t}$

On cherche une primitive de la fonction définie par $f(t)=te^{2t}$ en utilisant une intégration par parties.
$\displaystyle k(t)=\int te^{2t} dt = t(\frac{1}{2} e^{2t}) -\frac{1}{2} \int e^{2t}dt=\frac{1}{2} t e^{2t} - \frac{1}{4} e^{2t}$

Solution $x(t)=[\frac{1}{2} t e^{2t} - \frac{1}{4} e^{2t}]e^{-t}=\frac{1}{2} te^t -\frac{1}{4} e^t$