Math-Aide

bonjour, pourriez vous m’aider sur cette question:
on me demande : Décomposer en éléments simple X^3/ X^2-1

merci beaucoup

Bonjour

Puisque le numérateur est de degré 3 et le dénominateur de degré 2 on a une partie entière de degré 1.

$\displaystyle \frac{x^3}{x^2-1}=\frac{x(x^2-1) +x}{x^2-1}=x+\frac{x}{x^2-1}$

On doit avoir $\displaystyle \frac{x}{x^2-1} =\frac{a}{x+1} +\frac{b}{x-1}$
$\displaystyle =\frac{a(x-1)+b(x+1)}{x^2-1}=\frac{(a+b)x+b-a}{x^2-1}$

Par identification : $a+b=1$ et $a-b=0$ donc $a=b=\frac{1}{2}$

On a donc $\displaystyle \frac{x^3}{x^2-1} =x +\frac{1}{2(x+1)}+\frac{1}{2(x-1)}$