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Équation différentielle
Publié : 12 avril 2021, 22:49
par Melinsjah
Bonsoir,
j’aurai besoin d’expliquation sur cet exercice j’ai réussi la 1e et la 2e
Pour la 3e je trouve exp(-x/2)*(2a)=(x-3)e^(-x/2)
Et à partir de la je suis coincée
Re: Équation différentielle
Publié : 14 avril 2021, 14:05
par Job
Bonjour
4. $y'-y=\sin x +2\cos x$
L'équation homogène a pour solutions $y=\lambda e^x$ On cherche une solution particulière sous la forme $y=a\sin x +b\cos x$
$y'-y=(a-b)\cos x +(-a-b)\sin x$
On résout le système $\left\{\begin{array}{rcl}-a-b&=&1\\a-b&=&2\end{array} \right.$
On obtient ainsi une solution particulière qu'on ajoute aux solutions de l'équation homogène.
5. $y'+y=\sinh x$
Les solutions de l'équation homogène : $y=\lambda e^{-x}$
Par la méthode de variation de la constante. : $y'=•lambda'e^{-x}-\lambda e^{-x}$
$y'+y=\lambda'e^{-x}$ et $\sinh x =\frac{1}{2} (e^x-e^{-x})$
$\lambda'e^{-x}=\frac{1}{2} e^x $ conduit à $\lambda'=\frac{1}{2} e^{2x}$ soit $\lambda =\frac{1}{4} e^{2x}$
$\lambda'e^{-x}=-\frac{1}{2} e^{-x}$ \conduit à $\lambda'=-\frac{1}{2} $ soit $\lambda = -\frac{1}{2} x$
On a donc une solution particulière : $y=(\frac{1}{4} e^{2x}-\frac{1}{2} x) e^{-x}$
Re: Équation différentielle
Publié : 14 avril 2021, 14:22
par Job
6. $y'+y=\frac{1}{1+e^{2x}}$
Solutions de l'équation homogène $y=\lambda e^{-x}$
Par la méthode de variation de la constante on obtient $y'+y=\lambda'e^{-x}$
$\lambda' e^{-x}=\frac{1}{1+e^{2x}} $ soit $\lambda'=\frac{e^x}{1+e^{2x}}$
Donc $\lambda = \arctan(e^x)$
Solution particulière $y=e^{-x} \arctan (e^x)$