espace euclidien.
Publié : 22 avril 2020, 15:34
1) $||v_1||= \sqrt{1^2+1^2+4^2+(-1)^2}=\sqrt{19}$
$||v_2||=\sqrt{10}\;\ ||v_3||=\sqrt{12}||\ ;\ ||v_4||=\sqrt{57}\ ;\ ||v_5||=\sqrt{52}$
2. a) Je montre que $(v_1,v_2,v_3)$ constitue une partie libre.
On résout $av_1+bv_2+cv_3=0$ soit le système $\left\{\begin{array}{rcl}a+b+c&=&0\\a+2b+3c&=&0\\4a+2b+c&=&0\\-a-b+c&=&0\end{array}\right.$
On obtient $a=b=c=0$ donc $(v_1,v_2,v_3)$ constitue une partie libre.
On résout $av_1+bv_2+cv_3=v_4$ soit le système $\left\{\begin{array}{rcl}a+b+c&=&2\\a+2b+3c&=&-7\\4a+2b+c&=&0\\-a-b+c&=&2\end{array}\right.$
On obtient $a=-1\ ; b=1\ ;\ c=2$ soit $v_4=-v_1+v_2+2v_3$
De même on résout $av_1+bv_2+cv_3=v_5$. On obtient $a=0\ ;\ b=-2\ ;\ c=3$ soit $v_5=-2v_2+3v_3$
$(v_1,v_2,v_3)$ constitue une partie libre et génératrice de $F$ donc $V$ est de dimension 3.
b) $B=(v_1,v_2,v_3)$. On pose $b_1=v_1\ ; \ b_2=v_2\ ;\ b_3=v_3$
3. On constate que $(3,9,3,3)=3v_3$ donc $v$ appartient à $V$ et $v= 3v_3=3b_3$. Il a pour coordonnées $(0,0,3)$
4. On On résout $av_1+bv_2+cv_3=(1,1,1,1)$ soit le système $\left\{\begin{array}{rcl}a+b+c&=&1\\a+2b+3c&=&1\\4a+2b+c&=&1\\-a-b+c&=&1\end{array}\right.$
Le système n'a pas de solution donc $w$ n'appartient pas à $V$
$||v_2||=\sqrt{10}\;\ ||v_3||=\sqrt{12}||\ ;\ ||v_4||=\sqrt{57}\ ;\ ||v_5||=\sqrt{52}$
2. a) Je montre que $(v_1,v_2,v_3)$ constitue une partie libre.
On résout $av_1+bv_2+cv_3=0$ soit le système $\left\{\begin{array}{rcl}a+b+c&=&0\\a+2b+3c&=&0\\4a+2b+c&=&0\\-a-b+c&=&0\end{array}\right.$
On obtient $a=b=c=0$ donc $(v_1,v_2,v_3)$ constitue une partie libre.
On résout $av_1+bv_2+cv_3=v_4$ soit le système $\left\{\begin{array}{rcl}a+b+c&=&2\\a+2b+3c&=&-7\\4a+2b+c&=&0\\-a-b+c&=&2\end{array}\right.$
On obtient $a=-1\ ; b=1\ ;\ c=2$ soit $v_4=-v_1+v_2+2v_3$
De même on résout $av_1+bv_2+cv_3=v_5$. On obtient $a=0\ ;\ b=-2\ ;\ c=3$ soit $v_5=-2v_2+3v_3$
$(v_1,v_2,v_3)$ constitue une partie libre et génératrice de $F$ donc $V$ est de dimension 3.
b) $B=(v_1,v_2,v_3)$. On pose $b_1=v_1\ ; \ b_2=v_2\ ;\ b_3=v_3$
3. On constate que $(3,9,3,3)=3v_3$ donc $v$ appartient à $V$ et $v= 3v_3=3b_3$. Il a pour coordonnées $(0,0,3)$
4. On On résout $av_1+bv_2+cv_3=(1,1,1,1)$ soit le système $\left\{\begin{array}{rcl}a+b+c&=&1\\a+2b+3c&=&1\\4a+2b+c&=&1\\-a-b+c&=&1\end{array}\right.$
Le système n'a pas de solution donc $w$ n'appartient pas à $V$