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Bonsoir , j'ai besoin d'aide pour cet exercice que j'ai trouvé des difficultés à résoudre
Soit V, W deux espaces vectoriels , f : V → W une application et
Γf = {(x, y) | x ∈ V et y = f(x)} son graphique . Prouvez que l'application f : V → W est linéaire lorsque les sous ensemble Γf ⊂ V × W est un espace de sous vecteurs.

Bonsoir

Soit $x_1$ et $x_2$ 2 éléments de $V$.
$(x_1,f(x_1))\in \Gamma_f$ et $(x_2,f(x_2))\in \Gamma_f$ donc $(x_1,f(x_1))+(x_2,f(x_2))=(x_1+x_2,f(x_1)+f(x_2))\in \Gamma_f$ puisque $\Gamma_f$ est un sous-espace vectoriel.

$x_1+x_2\in V$.
$(x_1+x_2, f(x_1+x_2))\in \Gamma_f$

Par conséquent, $f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$ ce qui démontre la première propriété de linéarité.

On démontre la seconde propriété de la même manière.