Math-Aide

Bonjour.
Je suis bloqué sur un exercice et même sur une notion que je n’arrive pas à comprendre.
L’enonce : soit k<n deux entiers.
Montrer que {P: XP’ = kP} est un sous espace vectoriel de Rn[x]
-> jusqu’ici pas de problème pour la réalisation. C’est effectivement un sev et donc il y a l’existence de Supplémentaire
Mais ce que je n’arrive pas à faire c’est de donner un supplémentaire..

Merci d’avance ..

Bonjour

Soit $P=a_nX^n+\cdots +a_pX^P+\cdots +a_1X+a_0$
$P'=na_nX^{n-1}+\cdots pa_pX^{p-1}+\cdots +a_1$
$XP'=na_nX^n+\cdots +pa_pX^p+\cdots +a_1X$

Par identification, $XP'=kP$ équivaut à :
$na_n=ka_n$
..............
$pa_p=ka_p$
.............
$a_1=ka_1$
$0=ka_0$

On a donc pour $0\leq p \leq n$, $(p-k)a_p=0$
Si $p\neq k$ alors $a_p=0$ et pour $p=k$ alors $a_p$ peut prendre toutes les valeurs.
Le sous-espace vectoriel en donc engendré par $X^k$ d'où on déduit le supplémentaire.

Bonjour !
Merci pour votre reponse,
Mais je n’arrive pas à comprendre pourquoi P=akX^k..
Mercii

Dans l'écriture du polynôme, le seul coefficient non nul et pouvant prendre toutes les valeurs est celui du monôme de degré $k$, $k$ étant un entier donné.

Super ! J’ai compris merci beaucoup !!