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Bonjour!

Je suis bloqué à un exercice d'Algebre Linéaire,
"
Soit E = R2 [X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur
ou égal a 2.
Soit ¢ l'application de E dans E définie par : ¢(P)= X^2 P" - XP' .
1) Donner une base B de E. [--> J'ai donné la base canonique (1,X,X^2)

2) Déterminer la matrice de¢ dans la base B.
J'ai obtenue une matrice de la forme :
¢(1) ¢(X) ¢(X^2)
0 0 0 1
0 -1 0 X
0 0 0 X^2
3) Déterminer une base du noyau de phi;

J'ai un doute à cette question en effet j'ai dis que 1 et X^2 appartenait à ker f donc la famille (1,X^2) dans R2[x], La famille de polynome ont des degrès distinct donc libre... donc forme une base..... Mais j'ai un doute si c'est vraiment ça la base de Kerf...
4) Déterminer une base de l'image de ¢.
Ici, d'apres mon (3)
et d'apres le th du rang : dim Im f = 2 .. donc je suis bloquée

Merci d'avance.. !

Bonjour

D'accord pour les questions 1 et 2.

3) $\phi$ n'est pas l'application nulle donc $ker (\phi)$ est au maximum de dimension 2.
Comme vous l'avez écrit la famille $(1,X^2)$ est une famille libre de polynômes qui appartiennent à $ker (\phi)$ donc c'est bien une base du noyau.

4) Théorème du rang : $dim (ker \phi)+ dim (Im \phi)= dim (E)$
Comme E est de dimension 3 et le noyau de dimension 2, $Im (\phi)$ est de dimension 1.
$\phi (X)=-X$ donc $-X$ ou $X$ est une base de $Im (\phi)$

Compris !!
Merci beaucoup pour votre réponse claire et rapide !!!