Congruences modulo 4
Publié : 06 mai 2018, 09:55
Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à 3 modulo 4
Démonstration par l'absurde : on suppose qu'il existe un nombre fini de nombres premiers $p_1,\ p_2,\ \cdots , p_n$ congrus à 3 modulo 4.
On considère le nombre $M=4p_1p_2\cdots p_n -1$
$4p_1p_2\cdots p_n\equiv 0\ [4]$ donc $M\equiv -1\ [4]\equiv 3\ [4]$
Or $M$ n'est divisible par aucun des nombres premiers donc il est premier d'où la contradiction.
Démonstration par l'absurde : on suppose qu'il existe un nombre fini de nombres premiers $p_1,\ p_2,\ \cdots , p_n$ congrus à 3 modulo 4.
On considère le nombre $M=4p_1p_2\cdots p_n -1$
$4p_1p_2\cdots p_n\equiv 0\ [4]$ donc $M\equiv -1\ [4]\equiv 3\ [4]$
Or $M$ n'est divisible par aucun des nombres premiers donc il est premier d'où la contradiction.