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Salut

Je dois déterminer la nature de la série de terme général $\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+(-1)^n}}$.

Cela ressemble à une série alternée mais le $(-1)^n$ du dénominateur me gène.

Bonjour

La série est définie pour $n\geq 2$

On fait un développement asymptotique du dénominateur

$(n+(-1)^n)^{\frac{1}{2}}=[n(1+\frac{(-1)^n}{n}]^{\frac{1}{2}}=n^{\frac{1}{2}} (1+\frac{(-1)^n}{n})^{\frac{1}{2}}$

$u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n} [1+\frac{(-1)^n}{n}]^{-\frac{1}{2}}=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}(1-\frac{1}{2}(\frac{(-1)^n}{n})+o(\frac{1}{n}))=\frac{(-1)^n}{\sqrt n} -\frac{1}{2n^\frac{3}{2}} +o(\frac{1}{n^\frac{3}{2}})$

La série de terme général $\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ converge par le théorème spécial des séries alternées et la série de terme général$\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$ est une série de Riemann convergente donc la série proposée converge.

Merci, Job, pour la démonstration!