Espace vectoriel.
Publié : 06 février 2015, 04:49
Bonjour,j'ai fais cet exercice,mais je me demandais si j'ai bien rédigé.
Le voici:
1)Montrer que les ensembles suivants sont des R-sev(sous espaces vectoriels) de IR² (avec (IR²,+,.)IR-ev):
F = {(x, y) ∈ IR2|2x + 3y = 0} et G = {(x, y) ∈ IR2|x − y = 0}.
2)Montrer que les ensembles suivant sont des IR-sev de IR3:
H = {(x, y, z) ∈ IR3|x + 2y − z = 0}; I = {(x, y, z) ∈ IR3|x = y};
J = {(x, y, z) ∈ IR3|x + y − z = 0 et x − y + 2z = 0}.
3)Dire si les ensembles suivants sont des sev de IR2.
F1 = {(x1, x2) ∈ IR2|x1 = 1} et F2 = {(x1, x2) ∈ IR|x2 = 0}.
Et voici ce que j'ai fais:
En 1)
On sait que $0_R^2$(l'élément neutre)=(0,0) ∈ F car 2*0+3*0=0.
Ensuite,vérifions si F est stable pour "+"(l'addition).
Donc Soient $ X=(x1,x2)∈ F et Y=(y1,y2)$ ∈ F.
Montrons que X+Y ∈ F.
$X=(x1,x2)∈ F<=>2x1+3x2=0$
$Y=(y1,y2)$...=0
Puis $X+Y$=$(x1,x2)+(y1,y2)$= $(x1+y1,x2+y2)et 2(x1+y1)+3(x2+y2)=(2x1+y1)+3(x2+y2)=0+0=0 donc X+Y $ appartient à F,F est stable pour +.
Ensuite concernant "x" ,la multiplication,Soit w ∈ IR et X=(x1,x2),wX=w(x1,x2) et 2(wx1)+3(wx2)=w(2x1+3x2)=w*0=0 donc wX ∈ F.
Et c'est la même chose pour G,
x=y,donc on peut dire " soient X=(x,y) et Y(x,y) X+Y=(x,y)+(x,y)=(x+x,y+y) et (x-y)+(x-y)=0+0=0 donc F est stable pour +.
Concernant la multiplication "x" wX= w(x,y)=(wx,wy) et wx-wy=w(x-y)=w*0=0.
Je rédigerais le reste après vu que l'exo est long,ne répond pas aux autres questions stp^^.
Le voici:
1)Montrer que les ensembles suivants sont des R-sev(sous espaces vectoriels) de IR² (avec (IR²,+,.)IR-ev):
F = {(x, y) ∈ IR2|2x + 3y = 0} et G = {(x, y) ∈ IR2|x − y = 0}.
2)Montrer que les ensembles suivant sont des IR-sev de IR3:
H = {(x, y, z) ∈ IR3|x + 2y − z = 0}; I = {(x, y, z) ∈ IR3|x = y};
J = {(x, y, z) ∈ IR3|x + y − z = 0 et x − y + 2z = 0}.
3)Dire si les ensembles suivants sont des sev de IR2.
F1 = {(x1, x2) ∈ IR2|x1 = 1} et F2 = {(x1, x2) ∈ IR|x2 = 0}.
Et voici ce que j'ai fais:
En 1)
On sait que $0_R^2$(l'élément neutre)=(0,0) ∈ F car 2*0+3*0=0.
Ensuite,vérifions si F est stable pour "+"(l'addition).
Donc Soient $ X=(x1,x2)∈ F et Y=(y1,y2)$ ∈ F.
Montrons que X+Y ∈ F.
$X=(x1,x2)∈ F<=>2x1+3x2=0$
$Y=(y1,y2)$...=0
Puis $X+Y$=$(x1,x2)+(y1,y2)$= $(x1+y1,x2+y2)et 2(x1+y1)+3(x2+y2)=(2x1+y1)+3(x2+y2)=0+0=0 donc X+Y $ appartient à F,F est stable pour +.
Ensuite concernant "x" ,la multiplication,Soit w ∈ IR et X=(x1,x2),wX=w(x1,x2) et 2(wx1)+3(wx2)=w(2x1+3x2)=w*0=0 donc wX ∈ F.
Et c'est la même chose pour G,
x=y,donc on peut dire " soient X=(x,y) et Y(x,y) X+Y=(x,y)+(x,y)=(x+x,y+y) et (x-y)+(x-y)=0+0=0 donc F est stable pour +.
Concernant la multiplication "x" wX= w(x,y)=(wx,wy) et wx-wy=w(x-y)=w*0=0.
Je rédigerais le reste après vu que l'exo est long,ne répond pas aux autres questions stp^^.