[Agro-Véto] fonctions de deux variables réelles
Publié : 23 mars 2014, 22:39
Bonsoir à tous!
Trouver toutes les fonctions g: R-->R deux fois dérivables telles que la fonction f: R*xR-->R définie par f(x,y)=g(y/x) vérifie la relation:
pour tout (x,y) appartenant à R*xR : d²rond(f)/drondx² + d²rond(f)/drondy²=y/x^3.
En calculant les dérivées partielles, je trouve que la relation doit vérifier [(y²/x²)+1]g''(y/x)+(2y/x)g'(y/x)=y/x
En posant t=y/x j'obtiens (t²+1)g''(t)+2tg'(t)=t.
Comme 1+t² ne s'annule pas, on a : g''(t)+[2t/(t²+1)]g'(t)=t/(t²+1)
On voit que la fonction g'(t) est solution de y'(t)+[2t/(t²+1)]y(t)=t/(t²+1) qui est une EDL du 1er ordre.
J'essaye donc de résoudre l'EDL homogène y'(t)+[2t/(t²+1)]y(t)=0...
Là, j'hésite un peu pour la résolution: si je suppose y(t) différent de 0, je divise par y(t): y'(t)/y(t)=-2t/(t²+1).
Je sais que la primitive de y'(t)/y(t) est Ln(y(t)), mais le signe - du 2ème membre me gêne.... Comment faire?
Merci d'avance pour votre aide!
Trouver toutes les fonctions g: R-->R deux fois dérivables telles que la fonction f: R*xR-->R définie par f(x,y)=g(y/x) vérifie la relation:
pour tout (x,y) appartenant à R*xR : d²rond(f)/drondx² + d²rond(f)/drondy²=y/x^3.
En calculant les dérivées partielles, je trouve que la relation doit vérifier [(y²/x²)+1]g''(y/x)+(2y/x)g'(y/x)=y/x
En posant t=y/x j'obtiens (t²+1)g''(t)+2tg'(t)=t.
Comme 1+t² ne s'annule pas, on a : g''(t)+[2t/(t²+1)]g'(t)=t/(t²+1)
On voit que la fonction g'(t) est solution de y'(t)+[2t/(t²+1)]y(t)=t/(t²+1) qui est une EDL du 1er ordre.
J'essaye donc de résoudre l'EDL homogène y'(t)+[2t/(t²+1)]y(t)=0...
Là, j'hésite un peu pour la résolution: si je suppose y(t) différent de 0, je divise par y(t): y'(t)/y(t)=-2t/(t²+1).
Je sais que la primitive de y'(t)/y(t) est Ln(y(t)), mais le signe - du 2ème membre me gêne.... Comment faire?
Merci d'avance pour votre aide!