Math-Aide

bonjour,
pourriez- vous m'aider à calculer cette limite stp?
merci

Bonjour

En utilisant les développements limités :

$(1+x)^8-1= 8x+o(x)$

$\sin x = x +o(x)$

$ 1-\cos x = 1-(1-\frac{x^2}{2})=\frac{x^2}{2} +o(x^2)$

Donc $\displaystyle \frac{[1+x)^8-1]\sin x}{1-\cos x}\sim \frac{8x\times x}{\frac{x^2}{2}}$

La limite cherchée est donc 16.


Il y a différentes rédactions possibles donc utilisez ce que vous avez vu en cours.

bonjour, je n’ai pas vu cette méthode, j’ai vu le théorème d’encadrement et les limites sans les décompositions, auriez vous une idée de comment le faire en théorème d’encadrement ?

Le théorème d'encadrement, c'est vague !

Avez-vous vu les 2 limites classique :
$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1\ ; \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} =\frac{1}{2}$

oui j’ai vu c’est deux limites ainsi que la partie conjugué mais votre méthode il me semble que je ne l’ai pas, de plus comment trouver 16 pour la limite ?

En divisant numérateur et dénominateur par $x^2$ on a ;
$\displaystyle \frac{\frac{(1+x)^8-1}{x}\times \frac{\sin x}{x}}{\frac{1-\cos x}{x^2}}$

$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} =1$ et $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} =\frac{1}{2}$

En développant $(1+x)^8$ par la formule du binôme :
$\displaystyle (1+x
(x+1)^8 =\sum_{k=0}^8 {8\choose k} x^k =1+8x +28x^2 +\cdots +x^8$

$\displaystyle \frac{(x+1)^8-1}{x} = 8 +\sum_{k=2}^8x^{k-1}$

Donc $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{(x+1)^8-1}{x}=8+0$

La limite cherchée est donc : $\frac{8\times 1}{\frac{1}{2}}=16$