Math-Aide

Bonjour,
Pouvez-vous m’aider pour ces deux sommes :
Je n’arrive pas à m’en sortir
Cordialement
Merci

Bonjour

Avec les propriétés de la fonction $\ln$, on décompose :
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln (n+1) +\sum_{n=1}^{\infty} (3n+1) -\sum_{n=1}^{\infty} \ln n -\sum_{n=1}^{\infty} \ln (3n+4)$

Soit avec des changements d'indices :
$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln n -\sum_{n=1}^{\infty}\ln n +\sum_{n=1}^{\infty}\ln (3n+1) -\sum_{n=2}^{\infty} (3n+1)$
$=-\ln 1 +\ln 4=\ln 4$

Donc $S_1=0$

Bonjour,
Merci, je n’arrivais pas m’en sortir
ni pour S1 ni pour S2

$S_2$ m'a donné du mal.

Je pose $u_n=\frac{1}{n(n+1)\cdots (n+m)}$

$u_{n+1}=\frac{1}{(n+1)\cdots (n+m+1)}$ donc $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n}{n+m+1}$

$nu_n=(n+m+1)u_{n+1}$

$(n+m)u_n-(n+m+1)u_{n+1}=mu_n$

On va donc faire apparaître une série télescopique.

$\displaystyle \sum_{n=1}^p mu_n=\sum_{n=1}^p [(n+m)u_n -(n+m+1)u_{n+1}]$

$=(m+1)u_1-(m+2)u_2 + (m+2)u_2-(m+3)u_3+\cdots (m+p)u_p-(m+p+1)u_{p+1}$

$=(m+1)u_1 -(m+p+1)u_{p+1}$

$(m+p+1)u_{p+1}=\frac{p+1+m}{(p+2)\cdots (p+1+m)}=\frac{1}{(p+2)\cdots (p+m)}$

$\displaystyle \lim_{p\to +\infty} \frac{1}{(p+2)\cdots (p+m)} =0$

Donc $\displaystyle \lim_{p\to +\infty} \sum_{n=1}^p mu_n =(m+1)u_1$

On a donc $S_2=(m+1)u_1=(m+1)\times \frac{1}{(m+1)!}=\frac{1}{m!}$

Waoo merci et bravo