Équation différentielle
Publié : 21 mars 2021, 12:56
Bonjour,
Je suis bloquée dans la résolution de cette équation différentielle :
$x^{2}y'-xy=x^{3}+x$
Je sais que les solutions sont de la forme
$y(x)=\sum_{k=0}^{N} a_{k}x^{k}$
Ce qui me donne
$y'(x)=\sum_{k=1}^{N} ka_{k}x^{k-1}$
Soit pour résoudre l'équation homogène
$x^{2}y'-xy=x^{2}\sum_{k=1}^{N} ka_{k}x^{k-1}-x\sum_{k=0}^{N} a_{k}x^{k}=0$
Après quelques étapes de développement, on trouve
$\sum_{k=2}^{N+1} (k-2)a_{k-1}x^{k}-a_{0}x=0$
Or, un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
C'est sur cette étape que je bloque, car d'après la correction, cela donne :
$N+1=3$
$a_{0}=-1$
$(N+1-2)a_{N+1-1} = 1$
Je vous remercie pour votre aide!
Je suis bloquée dans la résolution de cette équation différentielle :
$x^{2}y'-xy=x^{3}+x$
Je sais que les solutions sont de la forme
$y(x)=\sum_{k=0}^{N} a_{k}x^{k}$
Ce qui me donne
$y'(x)=\sum_{k=1}^{N} ka_{k}x^{k-1}$
Soit pour résoudre l'équation homogène
$x^{2}y'-xy=x^{2}\sum_{k=1}^{N} ka_{k}x^{k-1}-x\sum_{k=0}^{N} a_{k}x^{k}=0$
Après quelques étapes de développement, on trouve
$\sum_{k=2}^{N+1} (k-2)a_{k-1}x^{k}-a_{0}x=0$
Or, un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
C'est sur cette étape que je bloque, car d'après la correction, cela donne :
$N+1=3$
$a_{0}=-1$
$(N+1-2)a_{N+1-1} = 1$
Je vous remercie pour votre aide!