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Bonjour à tous!
Est-il possible de trouver une forme plus simple de l'expression n*pi/2-sin(n*pi/2) ?
J'ai trouvé n*π/2-(-1)^n , mais je cherche une expression en cos(X) ...

Jon83 a écrit : ↑

29 février 2020, 12:27

Bonjour à tous!
Est-il possible de trouver une forme plus simple de l'expression n*pi/2-sin(n*pi/2) ?
J'ai trouvé n*π/2-(-1)^n , mais je cherche une expression en cos(X) ...

Bonjour

Je ne suis pas sûre de bien comprendre l'écriture. S'agit-il de : $n\frac{\pi}{2}-\sin (n\frac{\pi}{2})$ ? ou manque-t-il des parenthèses ?

Pour $\sin (n\frac{\pi}{2})$, on a une congruence modulo 4. En particulier pour $n=0$ modulo 2, $\sin (n\frac{\pi}{2})=0$

C'est bien l'expression qu tu as écrite ....

* Si $n\equiv 0\ [2]$ alors on obtient $n\frac{\pi}{2}$

* Si $n\equiv 1\ [4]$ on obtient $n\frac{\pi}{2} -1$

* Si $n\equiv 3\ [4]$ on obtient $n\frac{\pi}{2} +1$

Mais il n'apparaît pas de cosinus mais on peut remplacer $\sin (n\frac{\pi}{2})$ par $\cos ((1-n)\frac{\pi}{2}) $ mais je ne vois pas l'intérêt.

OK, merci !
En fait j'ai une fonction périodique de période T=4 telle que :
f(t)=1+t pour t dans [-2;0]
f(t)=t-1 pour t dans [0;2]
Je cherche sa décomposition de Fourier.
La fonction étant paire, les b_n sont nuls
J'ai calculé les a_n=4/T {int de 0 à T/2 de (1-t)sin(wt) dt} mais je ne retrouve pas les coefficients indiqués sur un site (voir PJ) ....

Il y a des erreurs dans votre texte.

$\displaystyle a_n=\int_0^2 (1-t)\cos (n\frac{\pi}{2} t) dt$

On fait une intégration par parties en dérivant $(1-t)$

$\displaystyle a_n =\big[\frac{1-t}{\frac{\pi}{2} n}\sin (\frac{\pi}{2} nt)\big]_0^2 +\frac{1}{\frac{\pi}{2}n}\int_0^2 \sin (\frac{\pi}{2} nt)dt$

Le premier terme est nul.

$\displaystyle a_n=\frac{1}{(\frac{\pi}{2}n)^2}\big[-\cos (\frac{\pi}{2} nt)\big]_0^2$

$\displaystyle a_n= \frac{1}{(\frac{\pi}{2}n)^2}\big(-(-1)^n+1)=\frac{4}{n^2\pi^2}(1-(-1)^n)$

Si $n$ est pair alors $a_n=0$

Si $n$ est impair, on obtient $\displaystyle a_n=\frac{8}{n^2\pi^2}$

$a_1=\frac{8}{\pi^2} $ ; $a_3=\frac{8}{3^2\pi^2}$ ...

Ce qui correspond bien à la réponse indiquée avec $A=1$

Ah oui! C'est simple et élégant ....
En fait, j'ai mélangé les sin et les cos ... et je suis parti dans des calculs trop lourds ...
Merci encore pour ton aide!
Cordialement, Mikel!