Math-Aide

Bonsoir Job;

Pourriez vous m'aider sur cet exercice :

L'intensité I du rayonnement d'une étoile pour une longueur d'onde (positive) donnée par I = (1/lambda^5) explique (-K/lambda)) ou K est une constante positive qui dépend de l'étoile

Démontrer que I rayonnée par l'édile est maximale pour une valeur lambda 0 de lambda que l'on déterminera en fonction de K
En déduire I (lambda 0)

Bonjour nico

nico033 a écrit : ↑

31 décembre 2019, 21:04

I = (1/lambda^5) explique (-K/lambda)) ou K est une constante positive qui dépend de l'étoile

Que signifie le "explique" dans cette expression ?

Bonsoir job;

C'est une fonction exponentielle je me suis trompé

Il faut se méfier du correcteur d'orthographe !

Par commodité d'écriture je remplace $\lambda$ par la variable $x$.

On étudie la fonction $f$ définie sur $\mathbb R^+$ par $f(x)=x^{-5} exp (-\frac{K}{x})$

La fonction dérivée de $exp(-\frac{K}{x}) $ est $\frac{K}{x^2} exp (-\frac{K}{x})$

$f'(x)=-5x^{-6}exp (-\frac{K}{x})+\frac{K}{x^2}exp (-\frac{K}{x}) x^{-5}=-5x^{-6} exp (-\frac{K}{x}) +K x^{-7}exp (-\frac{K}{x})$

$f'(x)=x^{-7} exp (-\frac{K}{x}) (-5x+K)$

Sur $\mathbb R^+\ ,\ f'(x)$ est du signe de $-5x+K$ donc positif sur $[0, \frac{K}{5}]$ et négatif sur $[\frac{K}{5} , +\infty[$

On a donc un maximum pour $\lambda_0 = \frac{K}{5}$