Math-Aide

Bonjour,
Soit d, d' deux métriques équivalentes sur X. Montrer que toute boule ouverte par rapport à d s’écrit comme réunion (finie ou infinie) de boules
ouvertes par rapport à d' et réciproquement.

Bonjour

Il existe 2 réels strictement positifs $\alpha$ et $\beta$ tels que
$\forall (x,y) \in X^2,\alpha d(x,y) \leq d'(x,y) \leq \beta d(x,y)$

Soit $x\in B_{d'} (a,r)$. $d'(a,x)\leq r$ donc $d(a,x)\leq \frac{\alpha}{r}$ et par conséquent $x\in B_d(a,\frac{\alpha}{r})$

On en déduit que $B_{d'}(a,r)\subset B_d (a,\frac{\alpha}{r})$

Bonsoir
comment passer à l'union fini ou infini? ( c' est $ \frac{r}{\alpha}$)

merci

Il y a une petite erreur d'étourderie ci-dessus : il faut lire $d(a,x)\leq \frac r\alpha$ et donc $B_{d'}(a,r)\subset B_d(a,\frac r\alpha)$.

Ensuite on termine de la façon suivante : si $\cal O$ est un ouvert pour $d$, alors pour tout $a\in\cal O$ il existe $r_a>0$ tel que $B_d(a,r_a)\subset \cal O$ ce qui permet d'écrire : ${\cal O}=\bigcup_{a\in \cal O}B_d(a,r)$ et donc aussi : ${\cal O}=\bigcup_{a\in\cal O}B_{d'}(a,\alpha r)$.

(L'énoncé original demande de le prouver pour une boule ouverte mais c'est vrai pour tout ouvert $\cal O$.)

bonsoir
merci pour l'aide