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Bonjour,
Je ne suis pas sur sur un exercice. "Ecrire les négations des propositions suivantes. Les différentes propositions sont-elles vraies?"
Déjà la consigne est assez floue on ne sait pas si on doit vérifier les propositions ou les négations des propositions.
0. Il existe x appartenant à R tel que x^2-1<0
proposition vraie si x appartient à [-1;1]
négation de la proposition:Pour tout x appartenant à R tel que x^2-1>0


1. Pour tout x appartenant à R, x^2-1<0
1. R: Il existe x appartenant à R tel que x^2-1>0
Proposition fausse avec le tableau de variation x^2-1>0 pour x appartenant à ]-infini;-11; + infini[

2. Pour tout x appartenant à R, x=0 implique (x+1)(x-1)x=0
proposition vraie si l'un des facteurs d'un produit est nul alors le produit est nul
négation de la proposition: Il existe x appartenant à R, (x+1)(x-1)x#0 implique x#0

3. Pour tout (x,x') appartenant à R^2, 2x-1= 2x'-1 implique x=x'
proposition vraie en ajoutant 1 de chaque côté et en divisant par 2 de chaque côté on trouve x=x'
négation de la proposition: Il existe( x ,x') appartenant à R^2, x#x' implique 2x-1#2x'-1

4. Pour tout (x,x') appartenant à R^2,
x^2=x'^2 implique x=x'
Faux car (-1)^2= 1^2
négation de la proposition
x#x' implique x^2#x'^2

5. Pour tout epsilon>0, il existe alpha >0 tel que pour tout x appartenant à R
|x|<alpha implique |3x|<epsilon
Vraie pour epsilon égale à 4, alpha égal à 2 on a x = 1, et 1*3<4.

négation de la proposition: Il existe epsilon <0, pour tout alpha <0 tel qu'il existe x appartenant à R
|3x|> epsilon implique |x|> alpha

6. Pour tout epsilon >0, il existe alpha >0 tel que pour tout x appartenant à R
|x|<alpha implique |1/x|<epsilon

Faux car x doit être différent de 0.
négation de la proposition: Il existe epsilon <0, pour tout alpha <0 tel qu'il existe x appartenant à R
| 1/x|>epsilon implique|x|>alpha

Merci d'avoir lu

Bonjour

Il y a des erreurs dans la négation des implications. Si P et Q sont 2 propositions, la négation de $P\Longrightarrow Q$ est $P\ et\ non\ Q$

1) Dans la négation, il faut une inégalité large.

2) Négation : Il existe $x\in {\mathbb R}$ tel que $x=0\ et\ (x+1)(x-1)x\neq 0$ (proposition bien sûr fausse puisque négation d'une proposition vraie)

3) Négation : Il existe $(x,x')\in {\mathbb R}^2$ tel que $2x-1=2x'-1\ et\ x\neq x'$

4) Négation : Il existe $(x,x')\in {\mathbb R}^2$ tel que $x^2=x'^2\ et\ x\neq x'$ (proposition vraie puisque négation d'une proposition fausse)

5) Proposition vraie, il suffit de prendre $\alpha <\frac{\epsilon}{3}$

Négation : Il existe $\epsilon>0$ tel que pour tout $\alpha>0$ il existe $x\in {\mathbb R}$ tel que $|x|<\alpha$ et $|3x|\geq \epsilon$

6) Négation : Il existe $\epsilon>0$ tel que pour tout $\alpha>0$ il existe $x\in {\mathbb R}$ tel que $|x|<\alpha$ et $|\frac{1}{x}|\geq \epsilon$

La négation est vraie en prenant $\epsilon <\frac{1}{\alpha}$ car si on choisit $x$ tel que $|x|<\alpha$ comme $\alpha<\frac{1}{\epsilon}$ alors $|x|<\frac{1}{\epsilon}$ donc $|\frac{1}{x}| >\epsilon$

Quand c'est une inégalité large c'est <= c'est ça?
Au fait il fallait vérifier les propositions ou les négations des propositions?

Propolis a écrit :Quand c'est une inégalité large c'est <= c'est ça?

oui $\leq$ ou $\geq$

Au fait il fallait vérifier les propositions ou les négations des propositions?

Il suffit de vérifier l'une ou l'autre car si la proposition est vraie, la négation est fausse et si la proposition est fausse, la négation est vraie.