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soirnt la fonction h(x)=e^x


calculer en utilisant les sommes de riemann les intégrales :

l integral en [0.x] de h(t)dt

Bonjour

$\displaystyle I=\lim_{n\to +\infty}\frac{x}{n}\sum_{k=0}^{n-1} e^{\frac{kx}{n}}$

La somme est la somme de $n$ termes consécutifs d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison $\frac{x}{n}$

$\displaystyle \frac{x}{n}\sum_{k=0}^{n-1} e^{\frac{kx}{n}}=\frac{x}{n}\times \frac{(e^{\frac{x}{n}})^n-1}{e^{\frac{x}{n}}-1}=(e^x-1)\times \frac{\frac{x}{n}}{e^{\frac{x}{n}}-1}$

$\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\frac{x}{n} =0$ donc $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\frac{\frac{x}{n}}{e^{\frac{x}{n}}-1}=1 $ et par conséquent $I=e^x-1$