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Bonjour

1. On fait une démonstration par récurrence.
* L'égalité est vérifiée pour $n=0$ avec $P_0(x)=1$ de degré 0.

* On suppose l'égalité vérifiée au rang $n$.
On a alors $\displaystyle f^{(n+1)}(x)=\frac{P'_n(x)(1+x^2)^{n+\frac{1}{4}}-P_n(x)(n+\frac{1}{4})(2x)(1+x^2)^{n-\frac{3}{4}}}{(1+x^2)^{2n+\frac{1}{2}}}$
En simplifiant par $\displaystyle (1+x^2)^{n-\frac{3}{4}}$ on a :

$\displaystyle f^{(n+1)}(x)=\frac{P'_n(x)(1+x^2)-P_n(x)(2n+\frac{1}{2})x}{(1+x^2)^{n+\frac{5}{4}}}$

Au dénominateur, l'exposant est bien $\displaystyle (n+1)+\frac{1}{4}$ et $\displaystyle P_{n+1}(x)=P'_n(x)(1+x^2)-P_n(x)(2n+\frac{1}{2})x$ est de degré $(n+1)$

2. $\displaystyle f'(x)=\frac{-\frac{1}{4} (2x)(1+x^2)^{-\frac{3}{4}}}{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}}=\frac{-x}{2(1+x^2)^{\frac{5}{4}}}=\frac{-x}{2(1+x^2)}\times f(x)$

Je ne comprends pas la question 3, il n'y a pas égalité.