Math-Aide

Bonjour

a) Je pose $\displaystyle u_n(x)=\frac{1}{n^2x^2 +n}$ donc $S=\displaystyle S_n(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x)$

Si $x\neq 0,\ u_n(x)\sim \frac{1}{x^2}\cdot \frac{1}{n^2}$ quand $n$ tend vers $+\infty$ donc $\displaystyle \sum u_n(x)$ est convergente par équivalence à une série de Riemann convergente.

Si $x=0, \ u_n(x) \sim \frac{1}{n}$, la série $\displaystyle \sum u_n(0)$ est divergente.

Le domaine de définition de $S$ est donc ${\mathbb R}^*$

$S$ est une fonction paire donc il suffit de l'étudier sur ${\mathbb R}^{+*}$

b) Soit $a>0$. $\displaystyle \forall x \in [a, +\infty[,\ u_n(x)\leq \frac{1}{n^2a^2}$ donc la série converge normalement donc uniformément sur $[a,+\infty[$.
Puisqu'il y a convergence uniforme, chaque fonction $u_n$ étant continue sur $[a,+\infty[$, la somme S l'est aussi.
Si $x_0$ est un réel strictement positif, il existe $a>0$ tel que $x_0\in [a,+\infty[$ donc $S$ est continue en $x_0$
$S$ est donc continue sur ${\mathbb R}^{+*}$ et par parité sur ${\mathbb R}^{-*}$