Math-Aide

Bonjour job,excuse moi de te déranger,mais pourrais tu m'aider pour le III et le IV s'il te plait?

Bonjour Jean

Execice III

(a) $\left(\begin{matrix}P(Y)&(X-a)P'(Y)\\(Y-b)P'(X)&P(X)\end{matrix}\right)$

(b) Si $(X,Y)=(a,b)$ alors la matrice jacobienne $J$ est égale à $\left(\begin{matrix}P(b)&0\\0&P(a)\end{matrix}\right)$
$J-\lambda Id=\left(\begin{matrix}P(b)-\lambda&0\\0&P(a)-\lambda\end{matrix}\right)$

Le déterminant est égal à $(P(b)-\lambda)(P(a)-\lambda)$
Il est nul pour $\lambda=P(a)$ et $\lambda =P(b)$

$\left(\begin{matrix}P(b)&0\\0&P(a)\end{matrix}\right)\ \left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}P(b)X\\P(a)Y\end{matrix}\right)$

(c) ?

Exercice IV

(1) $\frac{\partial \phi}{\partial X}( U_0)=-\sin (X_0-Y_0^2)$ et $\frac{\partial \phi}{\partial Y}(U_0)=-2Y_0(-\sin(X_0-Y_0^2))=2Y_0\sin (X_0-Y_0^2)$

(2) $\frac{\partial^2 \phi}{\partial X^2}(U_0)=\cos (X_0-Y_0^2)$

$\frac{\partial^2 \phi}{\partial Y^2}(U_0)=2\sin (X_0-Y_0^2)+2Y_0(-2Y_0\cos (X_0-Y_0^2)=2\sin (X_0-Y_0^2)-4Y_0^2\cos (X_0-Y_0^2)$

$\frac{\partial^2\phi}{\partial X\partial Y}(U_0)=-2Y_0(-\cos (X_0-Y_0^2))=2Y_0\cos (X_0-Y_0^2)$

$H=\left(\begin{matrix}\cos (X_0-Y_0^2)&2Y_0\cos (X_0-Y_0^2)\\2Y_0\cos (X_0-Y_0^2)&2\sin (X_0-Y_0^2)-4Y_0^2\cos (X_0-Y_0^2)\end{matrix}\right)$

(3) $\phi(X_0+h,Y_0+k)-\phi(X_0,Y_0)=\frac{1}{2}[h^2\cos (X_0-Y_0^2)+2hk(2Y_0\cos (X_0-Y_0^2))+k^2(2\sin (X_0-Y_0^2)-4Y_0^2\cos (X_0-Y_0^2))]+\epsilon (h^2,k^2)$

Je ne sais pas si j'ai utilisé les mêmes notations que dans ton cours.

Pour le (c) je ne sais pas ce qu'ils entendent par "attractif" mais merci pour ton aide en tout cas.
C'est un devoir du même type que j'aurai,comme les exo 3 et 4