Math-Aide

Bonjour,
J'aurais une petite question sur le DL quand x->0 de :
ln(2+x+x^2)
ln(1+x+x^6)
en faite je beug sur la methode
Comment on procède , quel changement doit on faire ?
Merci d'avance

Bonjour

Il faut se ramener au DL connu : $\ln (1+h)=h-\frac{h^2}{2} +\frac{h^3}{3}+\cdots +(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} +o(x^n)$

1) Il faut commencer par mettre 2 en facteur pour pouvoir se ramener au DL connu.
$\ln (2+x+x^2)=\ln ([2(1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{2})]=\ln 2 +\ln [1+(\frac{x}{2}+\frac{x^2}{2})]$
À l'ordre 2 on a alors :
$\ln 2 +(\frac{x}{2}+\frac{x^2}{2})-\frac{1}{2}(\frac{x}{2}+\frac{x^2}{2})^2+o(x^2)$
$\ln 2 +\frac{x}{2}+\frac{x^2}{2}-\frac{1}{8} x^2 +o(x^2)$ (pas la peine d'écrire les termes de degré supérieur à 2)
Soit : $\ln 2 +\frac{1}{2} x +\frac{3}{8} x^2 +o(x^2)$

2) $h=x+x^6$. Jusqu'à l'ordre 6, le terme $x^6$ n'intervient pas. Par exemple, à l'ordre 3, on obtient simplement :
$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3} +o(x^3)$

Cool c'est ce que j'avais fais mais je pensais que l' on avait pas le droit ! Merci beaaucoup