Math-Aide

Bonjour!
J'ai la fonction (voir pj)
Lorsque gamma tend vers oméga, le deuxième terme donne une indétermination du type 0/0.
On me demande de développer d'après la règle de L'Hospital : mais comment?
Merci pour votre aide!

Bonjour

Je commence par transformer la différence de cos avec la formule :
$\cos b -\cos a = 2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$
$\cos (\gamma t +\beta)- \cos (\omega t +\beta)=2\sin (\frac{\gamma +\omega}{2} t +\beta) \sin (\frac{\omega -\gamma}{2} t)=f(t)$

Pour la règle de l'Hospital si $\lim_a f=\lim_a g =0 $ et $\lim_a \frac{f'}{g'}=l$ alors $\lim_a \frac{f}{g} =l$
Le problème ici est que le dénominateur est une constante indépendante de la variable $t$, je vais donc considérer $g(t) =(\omega^2-\gamma^2)t^2$ et chercher par la règle de l'Hospital la limite de $\frac{f'(t)}{g'(t)}$

$f'(t)=2[\frac{\gamma +\omega}{2} \cos (\frac{\gamma +\omega}{2} t +\beta)\sin (\frac{\omega -\gamma}{2} t)+\frac{\omega -\gamma}{2} \cos (\frac{\omega -\gamma}{2} t )\sin (\frac{\gamma +\omega}{2} t +\beta)]$
$ g'(t) =2( \omega^2 -\gamma^2)t$
$\frac{f'(t)}{g'(t)}=\frac{1}{2(\omega -\gamma)t}\cos (\frac{\gamma +\omega}{2} t +\beta)\sin (\frac{\omega -\gamma}{2} t)+\frac{1}{2(\omega +\gamma)t}\cos (\frac{\omega -\gamma}{2} t) \sin (\frac{\gamma +\omega}{2} t +\beta)$

$\lim_{\gamma \to \omega}\frac{\sin (\frac{\omega-\gamma}{2} t)}{\frac{\omega-\gamma}{2} t}=1$ donc le premier terme de la somme a pour limite $\frac{1}{4}\cos (\frac{\gamma +\omega}{2} t +\beta)$ soit encore $\frac{1}{4} \cos (\omega t +\beta)$

Le deuxième terme de la somme a pour limite : $\lim_{\gamma \to \omega}\frac{1}{2(\omega +\gamma)t}\cos (\frac{\omega -\gamma}{2} t) \sin (\frac{\gamma +\omega}{2} t +\beta)=\frac{1}{4\omega t}\sin (\omega t +\beta)$

Donc $\lim_{\gamma \to \omega}\frac{\cos (\gamma t +\beta)- \cos (\omega t +\beta)}{(\omega^2-\gamma^2)t^2}=\frac{1}{4}\cos (\omega t +\beta)+\frac{1}{4\omega t}\sin (\omega t +\beta))$

Problèmes !
J'ai introduit un $t^2$ . Cela a-t-il une justification ?
Les calculs sont à vérifier.

Merci pour votre réponse!
t représente le temps, donc t² existe ...
De mon côté, après avoir revu le théorème de L'Hospital et ses conditions d'application, j'ai mené le raisonnement suivant: comme l'indétermination apparaît lorsque oméga tend vers gamma (le numérateur et le dénominateur s'annulent), j'ai donc fait le calcul suivant (voir pj)
Je ne sais pas si c'est une coïncidence heureuse, mais ça correspond avec le résultat donné : x=... (voir pj) ???

Ne sachant pas à quoi correspondent les différentes notations, je pensais que $\omega$ était une constante donc je ne pouvais pas dériver par rapport à $\omega$

Désolé de ne pas avoir été assez rigoureux dans la définition des paramètres....
Ici oméga et gamma sont des paramètres indépendants de de t (variable temps), mais que l'on peut modifier, d'où l'origine de l'indétermination si oméga tend vers gamma.
Que pensez vous de mon raisonnement ?

Je peux difficilement juger si c'est la méthode attendue mais le calcul est correct.

Merci beaucoup!