Courbes paramétres
Publié : 29 avril 2020, 14:23
Étude au voisinage de 0[/b]
Je désigne par $V_1$ le vecteur de coordonnées $(x'(0),y'(0))$ par $V_2$ le vecteur de coordonnées $(x"0,y"(0))$ et par $V_3$ le vecteur de coordonnées $(x^{(3)}(0), y^{(3)} (0))$
I. $(x(t),y(t))=(t-t^3+2t^4, -2t+2t^3+t^5)$
$(x'(t),y'(t))=(1-3t^2+8t^3,-2+6t^2+5t^4)$ donc $V_1\ :\ (1,-2)\neq (0,0)$
Par conséquent il s'agit d'un point régulier.
2. $(x(t),y(t))=(t^2+2t^4, -t^2+2t^3+4t^5)$
$(x'(t),y'(t))=(2t+8t^3, -2t+6t^2+20t^4)$ donc $V_1\ :\ (0,0)$
Il s'agit donc f'un point stationnaire.
$(x"(t),y"(t))=(-2+24t^2, -2+12t+80t^3)$ donc $V_2\ :\ (-2,-2)$
$(x^{3}(t), y^{3}(t))= (48 t , 12+240t^2)$ donc $V_3\ :\ (0,12)$
$V_2$ et $V_3$ ne sont pas colinéaires.Avec les notations classiques $p=2$ et $q=3$ donc il s'agit d'un point de rebroussement de 1ère espèce.
3. $(x(t),y(t))= (t^2-3t^4, -t^2+2t^4-t^6)$
$(x'(t),y'(t))=(2t-12t^3, -2t+8t^3-6t^5)$ donc $V_1\ :\ (0,0)$
$(x"(t),y"(t))=(-2-36t^2, -2+24t^2-30t^4)$ donc $V_2\ :\ (-2,-2)$
$(x^{(3)}(t), y^{(3)}(t))=(-72t, 24-120t^3)$ donc $V_3\ :\ (0,24)$
$V_2$ et $V_3$ ne sont pas colinéaires donc $p=2$ et $q=3$. Il s'agit d'un point de rebroussement de première espèce.
4. $(x(t),y(t))=(5t-t^2-3t^5, -10t+2t^2-t^5)$
$(x'(t),y'(t))=(5-2t-15t^4, -10+4t-5t^4)$ donc $V_1\ :\ (5,-10)$
$(x"(t),y"(t))=(-2-60t^3, 4-20t^3)$ donc $V_2\ :\ (-2,4)$
$V_1$ et $V_2$ sont colinéaires donc on poursuit.
$(x^{(3)}(t),y^{(3)}(t))=(-180t^2,-60t^2)$ donc $V_3\ :\ (0,0)$
$(x^{(4)}(t),y^{(4)}(t))=(-360 t , -120 t)$ donc $V_4\ :\ (0,0)$
$(x^{(5)}(t),y^{(5)}(t))=(-360 , -120 )$ donc $V_5\ :\ (-360,-120)$
$V_1$ et $V_5$ ne sont pas colinéaires donc $p=1$ et $q=5$ . Il s'agit d'un point d'inflexion.
Je désigne par $V_1$ le vecteur de coordonnées $(x'(0),y'(0))$ par $V_2$ le vecteur de coordonnées $(x"0,y"(0))$ et par $V_3$ le vecteur de coordonnées $(x^{(3)}(0), y^{(3)} (0))$
I. $(x(t),y(t))=(t-t^3+2t^4, -2t+2t^3+t^5)$
$(x'(t),y'(t))=(1-3t^2+8t^3,-2+6t^2+5t^4)$ donc $V_1\ :\ (1,-2)\neq (0,0)$
Par conséquent il s'agit d'un point régulier.
2. $(x(t),y(t))=(t^2+2t^4, -t^2+2t^3+4t^5)$
$(x'(t),y'(t))=(2t+8t^3, -2t+6t^2+20t^4)$ donc $V_1\ :\ (0,0)$
Il s'agit donc f'un point stationnaire.
$(x"(t),y"(t))=(-2+24t^2, -2+12t+80t^3)$ donc $V_2\ :\ (-2,-2)$
$(x^{3}(t), y^{3}(t))= (48 t , 12+240t^2)$ donc $V_3\ :\ (0,12)$
$V_2$ et $V_3$ ne sont pas colinéaires.Avec les notations classiques $p=2$ et $q=3$ donc il s'agit d'un point de rebroussement de 1ère espèce.
3. $(x(t),y(t))= (t^2-3t^4, -t^2+2t^4-t^6)$
$(x'(t),y'(t))=(2t-12t^3, -2t+8t^3-6t^5)$ donc $V_1\ :\ (0,0)$
$(x"(t),y"(t))=(-2-36t^2, -2+24t^2-30t^4)$ donc $V_2\ :\ (-2,-2)$
$(x^{(3)}(t), y^{(3)}(t))=(-72t, 24-120t^3)$ donc $V_3\ :\ (0,24)$
$V_2$ et $V_3$ ne sont pas colinéaires donc $p=2$ et $q=3$. Il s'agit d'un point de rebroussement de première espèce.
4. $(x(t),y(t))=(5t-t^2-3t^5, -10t+2t^2-t^5)$
$(x'(t),y'(t))=(5-2t-15t^4, -10+4t-5t^4)$ donc $V_1\ :\ (5,-10)$
$(x"(t),y"(t))=(-2-60t^3, 4-20t^3)$ donc $V_2\ :\ (-2,4)$
$V_1$ et $V_2$ sont colinéaires donc on poursuit.
$(x^{(3)}(t),y^{(3)}(t))=(-180t^2,-60t^2)$ donc $V_3\ :\ (0,0)$
$(x^{(4)}(t),y^{(4)}(t))=(-360 t , -120 t)$ donc $V_4\ :\ (0,0)$
$(x^{(5)}(t),y^{(5)}(t))=(-360 , -120 )$ donc $V_5\ :\ (-360,-120)$
$V_1$ et $V_5$ ne sont pas colinéaires donc $p=1$ et $q=5$ . Il s'agit d'un point d'inflexion.