Suites arithmético-géométriques
Publié : 24 novembre 2013, 14:52
Ce sont les suites définies par une relation de récurrence : $u_{n+1}=au_n+b$
Deux cas particuliers :
-si $a=1$ la suite est arithmétique.
-si $b=0$ la suite est géométrique.
On suppose désormais $a\neq 1$ et $b\neq 0$
On considère alors la suite $(v_n)$ définie par $v_n=u_n-\frac{b}{1-a}$
$v_{n+1}=u_{n+1} -\frac{b}{1-a}=au_n+b-\frac{b}{1-a}=au_n-\frac{ab}{1-a}=a(u_n-\frac{b}{1-a})=av_n$
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $a$.
$v_n=v_0\times a^n=(u_0-\frac{b}{a})\times a^n$
$u_n=v_n+\frac{b}{1-a}=(u_0-\frac{b}{1-a})\times a^n+\frac{b}{1-a}=u_0\times a^n+\frac{b}{1-a} (1-a^n)$
Le résultat n'est pas à retenir par cœur, on retient la méthode.
De plus en Première et Terminale , la suite $(v_n)$ est donnée.
Deux cas particuliers :
-si $a=1$ la suite est arithmétique.
-si $b=0$ la suite est géométrique.
On suppose désormais $a\neq 1$ et $b\neq 0$
On considère alors la suite $(v_n)$ définie par $v_n=u_n-\frac{b}{1-a}$
$v_{n+1}=u_{n+1} -\frac{b}{1-a}=au_n+b-\frac{b}{1-a}=au_n-\frac{ab}{1-a}=a(u_n-\frac{b}{1-a})=av_n$
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $a$.
$v_n=v_0\times a^n=(u_0-\frac{b}{a})\times a^n$
$u_n=v_n+\frac{b}{1-a}=(u_0-\frac{b}{1-a})\times a^n+\frac{b}{1-a}=u_0\times a^n+\frac{b}{1-a} (1-a^n)$
Le résultat n'est pas à retenir par cœur, on retient la méthode.
De plus en Première et Terminale , la suite $(v_n)$ est donnée.