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Bonjour,

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Activité 1
$(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A',B'}=\theta'\ [2\pi]$ et $(\overrightarrow{A'B'},\overrightarrow{A"B"})=\theta\ [2\pi]$
$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A"B"})=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'B'})+(\overrightarrow{A'B'},\overrightarrow{A"B"})=\theta' +\theta\ [2\pi]$

$(\overrightarrow{A'B'},\overrightarrow{AB})=-\theta'\ [2\pi]$

Activité 1.bis)
1. Les homothétie sont des similitudes directes donc $h_1^{-1}\circ h$ est une similitude directe.
En composant à gauche l'égalité donnée par $h_1^{-1}\ :\ h_1^{-1}\circ h\circ g = h_1^{-1}\circ h_1\circ g_1=g_1$
En composant à droite par $g^{-1}$, $h_1^{-1}\circ h =g_1\circ g^{-1}$
Par conséquent, $h_1^{-1}\circ h$ est une isométrie et comme c'est une similitude directe, c'est un déplacement.

2. $g=h^{-1}\circ h_1\circ g_1$
La réciproque d'un déplacement est un déplacement donc $h^{-1}\circ h_1$ est un déplacement et conserve es angles orientés.
Par conséquent $g$ conserve les angles orientés si et seulement si $g_1$ conserve les angles orientés ce qui équivaut à dire que $g$ est un déplacement si et seulement si $g_1$ est un déplacement.

Activité 2
1. Une similitude multiplie les distances par $k$ donc $\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC} =k$

2. En utilisant l'égalité d'Al Kashi :
$\cos \hat{A'}=\frac{B'C'^2-A'B'^2-A'C'^2}{2A'B'\cdot A'C'}=\frac{k^2BC-k^2AB-k^2AC}{2kAB\cdot kAC}=\frac{BC^2-AB^2-AC^2}{2AB\cdot AC} =\cos \hat A$
Comme cos est une bijection des angles géométriques sur [-1 , 1], on en déduit $\hat{A'}=\hat{A}$
Même démonstration pour les 2 autres angles.