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Bonjour,

Bonjour

Activité 1
1) Par une homothétie, un point et son image sont alignés avec le centre de l'homothétie et une homothétie conserve le parallélisme donc l'image de $B$ est le point d'intersection de la droite $(OB)$ et de la parallèle à $(AB)$ passant par $D$ donc c'est le point $C$.

2) L'image de $M$ est le point d'intersection de la droite $(OM)$ et de la parallèle à $(AM)$ passant par $D$.

Activité 2
Soit $\omega_1$ le centre de l'homothétie $h_2\circ h_1$
$A,\omega_1, h_1(\omega_1)$ sont alignés donc $A\in (\omega_1, h_1(\omega_1)$
De même , $B, h_1(\omega_1), h_2(h_1(\omega_1))$ sont alignés. Mais $h_2(h_1(\omega_1))=\omega_1$ donc $B\in (\omega_1,h_1(\omega_1))$
On en déduit donc que $\omega_1$ est un point de la droite $(AB)$.
Il suffit alors, partant d'un point $M$ quelconque de construire son image $M_1$ par $h_1$ puis l'image $M_2$ de $M_1$ par $h_2$, $\omega_1$ appartient à la droite $(MM_2)$, c'est donc le point d'intersection de cette droite avec $(AB)$

Même type de construction pour la deuxième composée.

Activité 3
1. a) Soit $A_1$ et $B_1$ les images respectives de $A$ et $B$ par la translation $t$ : $\overrightarrow {A_1B_1}=\overrightarrow{AB}$
On a alors $\overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{A_1B_1}=k\overrightarrow{AB}$
b) $h\circ t$ est donc une homothétie de rapport $k$.

2. Soit $A_2$ et $B_2$ les images respectives de $A$ et $B$ par l'homothétie $h$ : $\overrightarrow{A_2B_2}=k\overrightarrow{AB}$
Soit $A"$ et $B"$ les images respectives de $A_2$ et $B_2$ par la translation $t$.
$\overrightarrow{A"B"} =\overrightarrow{A_2B_2}=k\overrightarrow{AB}$
$t\circ h$ est une homothétie de rapport $k$.

(Les centres d'homothéties sont différents)

Activité 4
a) On commence par chercher un point fixe en résolvant l'équation $z'=z$ ce qui donne $z=1$ Soit $\Omega$ le point d'affixe 1
Soit un point quelconque $M$ d'affixe $z$ et $M' (z')$ son image.
$\overrightarrow{\Omega M'}$ a pour affixe $z'-1=-2z+2=-2(z-1)$ donc $\overrightarrow{\Omega M'}=-2\overrightarrow{\Omega M}$
On a donc une homothétie de centre le point d'affixe 1 et de rapport (-2).

b) Même méthode. On obtient comme point fixe le point $\Omega (-\frac{1}{3} +\frac{1}{3} i)$ et comme rapport 4.