Math-Aide

Bonjour ;

Pourriez vous m'aidez à résoudre ces deux exercices , (merci par avance) `

Montrer en considérant deux suites différentes et le critère séquentiel que f définie par f(x) = cos(1/n) n'a pas de limite en 0

Calculer les limites à gauche et à droite en 0 de la fonction suivante:
h(x) = valeur absolue (x) / x
est ce que h a une limite quand x tend vers 0?

Bonjour

1) On considère les suites définies sur $\mathbb N^*$ par $u_n=\frac{1}{(2n+1)\pi}$ et $v_n=\frac{2}{n\pi}$
$\lim_{n\to +\infty}u_n=\lim_{n\to +\infty} v_n=0$
$\forall n \in {\mathbb N}^*\cos \frac{1}{u_n}=\cos ((2n+1)\pi )=1$ et $\cos \frac{1}{v_n}=\cos (n\frac{\pi}{2})=0$
Les limites sont différentes donc la fonction $x\mapsto \cos (\frac{1}{x})$ n'a pas de limite en 0.

2) Si $x> 0,\ \frac{|x|}{x} =\frac{x}{x}=1$
Si $x<0,\ \frac{|x|}{x}=\frac{-x}{x}=-1$
Donc $\lim_{x\to 0^+} h(x)=1$ et $\lim_{x\to 0^-} h(x)=-1$
Les limites sont différentes donc $h$ n'a pas de limite en 0.