Exercice 4 : Suite
Publié : 26 octobre 2014, 18:37
Rererebonjour,
Pour la partie A c'est un algo, donc on va directement à la partie B.
Je rappelle que :
Uo = 2 avec Un+1 = (2Un + Vn) / 3
Vo = 10 avec Vn+1 = (Un + 3Vn) / 4
Partie B :
1.
a) Le calcul est évident.
b) On a : Wn = Vn - Un
Pn : " Wn = 8. (5/12)^n "
Initialisation :
Pour n = 0, Pn est vraie.
Hérédité :
Wn+1 = Vn+1 - Un+1 = (5/12).Wn = 8.(5/12)^(n+1)
Conclusion :
Pn est vrai pour tout n appartenant à N.
2.
a)
Un+1 - Un = (1/3). (Vn - Un) or Vn - Un = 8.(5/12)^(n) > 0
Donc : Un+1 > Un
Donc : Un est croissante.
Vn+1 - Vn = (1/3). (Un - Vn) or Un - Vn = -8.(5/12)^(n) < 0
Donc : Vn+1 < Vn
Donc : Vn est décroissante.
b)
Vn - Un > 0 <=> Vn > Un :
Un est croissante donc elle est majorée par le premier terme Vo de Vn
Par conséquent : Un < 10
Vn est décroissante et donc minorée par le premier terme Uo de Un
Par conséquent : Vn > 2
c)
Un est croissante et majorée, Vn est décroissante et minorée, donc Un et Vn convergent.
3.
On appelle l et l' les limites respectives de Un et Vn
Lim Un = l
Lim Vn = l'
Lim (Vn - Un) = Lim 8.(5/12)^n = 0
Donc Lim (Vn - Un) = l' - l = 0 <=> l' = l.
4.
Pn : " tn = 3.Un + 4.Vn = cste "
Initialisation :
to = 46 = cste
Hérédité :
tn+1 = 3.Un+1 + 4.Vn+1 = 2.Un + Vn + Un + 3.Vn = 3Un + 4Vn = tn
Conclusion :
Pn est vraie pour tout n appartenant à N.
4.
tn est constante donc :
tn = to = 46
3.Lim Un = 3l
4.Lim Vn = 4l'
Comme l = l' donc :
Lim tn = tn = to = 3Lim Un + 4Lim Vn = 3l + 4l = 46
7l = 46
l = 46/7
Voilà pour ce dernier. Merci à vous.
Pour la partie A c'est un algo, donc on va directement à la partie B.
Je rappelle que :
Uo = 2 avec Un+1 = (2Un + Vn) / 3
Vo = 10 avec Vn+1 = (Un + 3Vn) / 4
Partie B :
1.
a) Le calcul est évident.
b) On a : Wn = Vn - Un
Pn : " Wn = 8. (5/12)^n "
Initialisation :
Pour n = 0, Pn est vraie.
Hérédité :
Wn+1 = Vn+1 - Un+1 = (5/12).Wn = 8.(5/12)^(n+1)
Conclusion :
Pn est vrai pour tout n appartenant à N.
2.
a)
Un+1 - Un = (1/3). (Vn - Un) or Vn - Un = 8.(5/12)^(n) > 0
Donc : Un+1 > Un
Donc : Un est croissante.
Vn+1 - Vn = (1/3). (Un - Vn) or Un - Vn = -8.(5/12)^(n) < 0
Donc : Vn+1 < Vn
Donc : Vn est décroissante.
b)
Vn - Un > 0 <=> Vn > Un :
Un est croissante donc elle est majorée par le premier terme Vo de Vn
Par conséquent : Un < 10
Vn est décroissante et donc minorée par le premier terme Uo de Un
Par conséquent : Vn > 2
c)
Un est croissante et majorée, Vn est décroissante et minorée, donc Un et Vn convergent.
3.
On appelle l et l' les limites respectives de Un et Vn
Lim Un = l
Lim Vn = l'
Lim (Vn - Un) = Lim 8.(5/12)^n = 0
Donc Lim (Vn - Un) = l' - l = 0 <=> l' = l.
4.
Pn : " tn = 3.Un + 4.Vn = cste "
Initialisation :
to = 46 = cste
Hérédité :
tn+1 = 3.Un+1 + 4.Vn+1 = 2.Un + Vn + Un + 3.Vn = 3Un + 4Vn = tn
Conclusion :
Pn est vraie pour tout n appartenant à N.
4.
tn est constante donc :
tn = to = 46
3.Lim Un = 3l
4.Lim Vn = 4l'
Comme l = l' donc :
Lim tn = tn = to = 3Lim Un + 4Lim Vn = 3l + 4l = 46
7l = 46
l = 46/7
Voilà pour ce dernier. Merci à vous.