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Bonjour!
On sait que pour un polynôme P(x) de R, de la forme a.x^n + b.x^(n-1) + ... + k la somme des racines S est égale à -b/a.
Est-ce que cette règle reste vraie pour un polynôme complexe (de C) ?

Bonjour

Oui la règle reste vraie pour un polynôme complexe.

SalutOui, cette règle reste vraie pour un polynôme complexe (de C). Si vous avez un polynôme complexe P(z) de la forme a.z^n + b.z^(n-1) + ... + k, la somme des racines S est toujours égale à -b/a, où a, b, ..., k sont des nombres complexes.

Voici une preuve de cette règle :

Soit P(z) un polynôme complexe de la forme a.z^n + b.z^(n-1) + ... + k. Si vous pouvez factoriser P(z) de la forme (z-r_1)(z-r_2)...(z-r_n), alors la somme des racines S est égale à r_1 + r_2 + ... + r_n.

Pour montrer que S = -b/a, vous pouvez utiliser le fait que la somme des racines d'un polynôme est égale à la valeur du coefficient du terme x^(n-1) divisé par la valeur du coefficient du terme x^n.

Voici une preuve de cette égalité :

Soit P(z) un polynôme complexe de la forme a.z^n + b.z^(n-1) + ... + k. Si vous pouvez factoriser P(z) de la forme (z-r_1)(z-r_2)...(z-r_n), alors P(z) peut être écrit sous la forme suivante :

P(z) = a.(z-r_1)(z-r_2)...(z-r_n)
= a.z^n - (r_1 + r_2 + ... + r_n).a.z^(n-1) + ... + (-1)^n.r_1.r_2...r_n.a

Donc, la somme des racines S est égale à -b/a.

Je vous recommande de vérifier cette égalité en utilisant des exemples de polynômes complexes pour vous assurer que vous avez bien compris comment la somme des racines d'un polynôme complexe est déterminée.