Math-Aide

Bonjour!
Soit f la fonction définie sur [-2;+inf] par f(x)=x.e^x+1 et Cf sa courbe représentative dans un repère.
1) déterminer la convexité de f : j'ai calculé f''(x)=e^x(x+2) qui s'annule en x=-2; donc f(x) à un point d'inflexion en x=-2, et comme lim de f(x) en x=+inf=+inf, j'en conclu que f(x) est convexe dans l'intervalle [-2;+inf] ?
2) déterminer l'équation réduite de la tangente à Cf au point d'abscisse 0 : je trouve y=x+1
3) Déduire des deux questions précédentes que pour tout réel x appartenant à [-2;+inf], f(x)>=x+1 ??? J'ai calculé f(x)-(x+1) mais je n'arrive pas à conclure ?
Retrouver le résultat précédent en résolvant algébriquement f(x)>=x+1

Bonjour

1) Plutôt que d'utiliser la limite en +l'infini, il me semble plus judicieux de dire simplement que sur l'intervalle $[-2, +\infty[$ la dérivée seconde est positive.

3) Puisque la fonction est convexe sur $[-2, +\infty[$, cela signifie que la courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes sur l'intervalle $[-2, +\infty[$ donc la courbe est au-dessus de la tangente au point d'abscisse 0 ce qui donne $f(x)\geq x+1$ sur $[-2, +\infty[$

Par le calcul, $f(x)\geq x+1$ équivaut à $xe^x\geq x$ soit $xe^x-x\geq 0$ donc $x(e^x-1)\geq 0$

Si $x\geq 0$ alors $e^x\geq 1$ donc $x(e^x-1)$ produit de 2 nombres positifs est positif.

Si $x<0$ alors $e^x<1$ donc $x(e^x-1)$ produit de 2 nombres négatifs est positif.

Super! Merci ...
Cordialement, a+