Math-Aide

Bonsoir tous le monde.

Je suis en terminal spé math et j'ai quelque difficulté avec un exercie qui se trouve pièce jointe et je vais également le récrire.

Soit (Cn​) la suite définie, pour tout entier n⩾1, par :

cn​=n∑k=1 1/k(k+1)(k+2)=1/(1×2×3)​+1/(2×3×4)+...+1/[​n(n+1)(n+2)1]

1. a. Soit k un etnier tel que 1⩽k⩽n.

Montrer que 1/[k(k+1)(k+2)]=1/2[1/k - 1/(k+1)]-1/2[1/(k+1)-1/(k+2)]

b. En déduire une expression simplifiée de cn​.

2.Déterminer lim(n→+∞​) Cn

Merci d'avance de votre aide et je compte sur vous pour m'aiguillier.

Bonjour

1.a) Dans la somme il suffit de réduire les fractions au dénominateur commun $k(k+1)(k+2)$ puis faire la somme.

1.b) On alors : $\displaystyle c_n=\sum_{k=1}^n [\frac{1}{2}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})-\frac{1}{2} (\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2})]$
$\displaystyle c_n=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^n (\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})-\frac{1}{2} \sum_{k=1}^n (\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2})$

En posant $h=k+1$ la deuxième somme peut s'écrire $\displaystyle \sum_{h=2}^{n+1}(\frac{1}{h}-\frac{1}{h+1})$ soit $\displaystyle \sum_{k=2}^{n+1}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})$

Donc dans $c_n$ tous les termes s'annulent sauf le premier correspondant à $k=1$ et le dernier correspondant à $k=n+1$

$\displaystyle c_n=\frac{1}{2}(\frac{1}{1} -\frac{1}{2}) -\frac{1}{2} (\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})$

Merci beaucoup je crois avoir compris les deux premières question était compliqué je le referais demain a tête froide pour vérifier si c'est bien resté dans ma tête