Math-Aide

Salut Job ,
j'aurai besoin d'un peu d'aide pour les questions ce devoir stp même si ça prend plusieurs jours pour trouver les réponses.
J'ai écris quelques réponse même si c'est au brouillon. Ce que tu vois sur le tableau c'est la réponse à la question 1).
Pour trouver les solutions sous forme exponentielles j'ai calculer le module qui vaut 1.
L'angle est "du type pi/3" mais j'oubli comment utiliser le cadran de trigonométrie pour avoir l'angle exacte.

Z racine de P z^2+z+1=0
Si on pose z=Z^4
On a (Z^4)^2+Z^4+1=0
: Soit Z^8+Z^4+1=0
Donc Z racine de P(x)

Bonjour Marc

1) J'utilise ce que tu as trouvé.
Avec $\cos \theta_1=-\frac{1}{2} $ et $\sin \theta_1=\frac{\sqrt 3}{2}$ ona a : $\theta_1=\frac{2:pi}{3}$
Donc $z_1=e^{i\frac{2\pi}{3}}$
Même calcul ou utiliser le fait que les 2 racines sont conjuguées $z_2=e^{-i\frac{2\pi}{3}}$

2) Si $z$ est racine de $P$ on a $z^8+z^4+1=0$ soit $(z^4)^2 +z^4+1=0 $ donc $z^4$ est racine de l'équation précédente.

3) On a donc $z^4=e^{i\frac{2\pi}{3}}$ ou $z^4=e^{-i\frac{2\pi}{3}}$
On utilise l'écriture complexe de $z$
On pose $z=re^{i\theta}$ avec $r$ réel strictement positif
On a donc $z^4=r^4e^{i4\theta}$

$r^4e^{i4\theta}= e^{i\frac{2\pi}{3}}$ si et seulement si $r^4=1$ et $4\theta = \frac{2\pi}{3}+k2\pi$ ($k\in{\mathbb Z}$)
$r^4=1$ si et seulement si $r=1$.
$4\theta = \frac{2\pi}{3}+k2\pi$ équivaut à $\theta = \frac{\pi}{6} +k\frac{\pi}{2}$
Les racines sont donc :
$\displaystyle e^{i\frac{\pi}{6}} , e^{i\frac{2\pi}{3}} , e^{i\frac{7\pi}{6}} , e^{i\frac{5\pi}{3}}$

On fait le même genre de calcul avec la deuxième valeur possible pour $z^4$

4) le polynôme $P$ possède 8 racines.

Dans l'ensemble des complexes, un polynôme de degré $n$ possède $n$ racines avec comme convention qu'une racine double (par exemple) correspond à 2 racines.
(Il faut voir comment ceci est énoncé dans le cours des élèves

Merci beaucoup pour ton aide Job ,ah oui je me souviens de cette convention merci!