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Bonjour je dois réaliser les exercices 68,85,87,89 et 106 mais je n'ai pas bien compris pourriez vous m'aidez s'il vous plait?
Merci d'avance.

Bonjour

Exercice 67

Il faut utiliser les règles sur les opérations avec la fonction logarithme
a) logarithme d'un produit :
$\ln (21) =\ln (3\times 7)=\ln 3 +\ln 7$

c) logarithme d'une racine carrée, d'un produit, dune puissance
$\ln (3\sqrt{21} )+\ln (49)=\ln 3 +\ln (\sqrt{3\times 7})+\ln (7^2) =\ln 3 +\frac{1}{2} \ln (3\times 7)+2\ln 7$
$=\ln 3 +\frac{1}{2}\ln 3 +\frac{1}{2} \ln 7+2\ln 7= \frac{3}{2} \ln 3 + \frac{5}{2} \ln 7$

e) logarithme d'un quotient et d'une puissance
$\ln (\frac{343}{27})=\ln (\frac{7^3}{3^3})=\ln (7^3) -\ln (3^3)=3\ln 7 -3\ln 3$

D'accord merci beaucoup j'ai bien réussi la rédaction de cet exercice mais je suis toujours bloqué sur les autres.

Exercice 85

b) $\ln (x^2-2x)=\ln 4$ si et element si $x^2-2x=4$
Il reste à résoudre cette équation du second degré.

d) L'équation est définie si $3x-1>0$ et $x>0$ donc si $x>\frac{1}{3}$
L'équation équivaut alors à $\ln [(3x-1)(x)]=\ln (5^2)$
soit $3x^2-x=25$
On résout cette équation du second degré et on vérifie si ces solutions sont bien supérieures à $\frac{1}{3}$

Exercice 87
La fonction ln a pour fonction dérivée la fonction inverse.
a) $f'(x)=\frac{1}{x} +1$ strictement positive sur $]0, +\infty[$

Exercice 89

b) $\ln x \geq 1$ équivaut à $\ln x \geq \ln e$

La fonction ln est strictement croissante donc $\ln x \geq \ln e$ si et seulement si $x\geq e$

c) L'inéquation est définie si et seulement si $x>0$ donc $x\in ]0,+\infty[$
$\ln x >\ln (3x)$ si et seulement si $x>3x$ soit $x<0$
$x<0$ est incompatible avec l'ensemble de définition donc l'inéquation n'a pas de solution.

Exercice 106

Connaissant les limites 0 et +l'infini de la fonction ln, pour a) et b), on utilise les opérations somme et produit sur les limites.

c) $h(x)=x\ln x -2x=x(\ln x -2)$
En +l'infini, les 2 facteurs ont pout limite $+\infty$
Dans le cours $\displaystyle \lim_{x\to 0} x \ln x =0$
Donc $\displaystyle \lim_{x\to 0} h(x)=0$

d) $k(x)=4x -(\ln x)^2$
$\displaystyle \lim_{x\to 0} \ln x=-\infty$ donc $\displaystyle \lim_{x\to 0}(\ln x))^2 =+\infty$
Donc $\displaystyle \lim_{x\to 0} k(x)=-\infty$

En + l'infini c'est assez difficile.
$k(x)=(\ln x)^2[4\times \frac{x}{(\ln x)^2}-1] = (\ln x)^2 [4\times (\frac{\sqrt x}{\ln x)})^2 -1]$
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt x}{\ln x} =+\infty$
D'où on déduit $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} k(x)=+\infty$

Je suis vraiment bloqué avec la rédaction de l'exercice 85 pourriez vous me l'expliquer s'il vous plaît.