Math-Aide

Soit (Un)la suite définie pour tout entier naturel
n par U0=2 et Un+1=(2/3)Un +3
1. a. À l'aide de la calculatrice, calculer les 10 premiers termes
de la suite.
b. Conjecturer le sens de variation de (Un.) et une majoration
de (Un)
2. Montrer par récurrence que (Un.) est majorée par 9.
3. Montrer que Un+1-Un=(-1/3)Un+3 puis en déduire le sens de variation de la suite (Un)
4. Justifier que la suite (Un) converge.

Bonjour

2) Initialisation : $u_0\leq 9$

Supposons vérifié, au rang $n$ : $u_n\leq 9$
$\frac{2}{3} u_n +3\leq \frac{2}{3}\times 9 +3 =9$ donc $u_{n+1} \leq 9$

3) Simple calcul

$u_n\leq 9$ donc $-\frac{1}{3} u_n\geq -3$
$u_{n+1} -u_n \geq -3+3=0$
On en déduit que $u_{n+1}\geq u_n$ donc la suite est croissante.

4) La suite est croissante, majorée donc elle converge.