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Bonjour

I.b) Le PGCD de $Y$ et $Z$ divise $Z-Y=2$. Ce PGCD divise donc 2 et les nombres impairs $Y$ et $Z$ donc il est égal à 1.

II.c) Si $n$ est impair, alors $n$ peut s'écrire sous la forme $2k+1$.
On a alors $9n-1=9(2k+1)-1=18k+8=2(9k+4)$ et $9n+1=18k+10=2(9k+5)$
$(9n-1)(9n+1)=2 (9k+4)(2)(9k+5)=4(9k+4)(9k+5)$ donc est divisible par 4.

III.b) Mis à part 2, tout nombre premier est impair et peut donc s'écrire soit sous la forme $4n-1$ ou $4n+1$.
Or l'ensemble des nombres premiers est infini donc nécessairement un au moins des sous-ensembles des nombres premiers de la forme $4n-1$ ou $4n+1$ est infini.

c) Si on décompose en facteurs premiers le nombre 658 812, on obtient $658812 = 2^2\times 3\times 7\times 11\times 23 \times 31$ et les nombres 3, 7, 11, 23, 31 sont tous de la forme $4n-1$. Par conséquent le nombre 658811 est de la forme $4q_1\cdots q_X-1$. Comme on a supposé que tous les facteurs premiers de la forme $4n-1$ figurent dans le produit $q_1\cdots q_Z$, nécessairement $A\geq 658811$

$4q_1\cdots q_Z=A+1$ donc tous les nombres $q_I$ divisent $A+1$
Si il existe un nombre $q_I$ divisant $A$ alors il divise $A$ et $A+1$ qui sont consécutifs donc on aurait $q_I=1$ ce qui est contradictoire puisque 1 n'est pas premier.

$A$ est impair et puisque aucun nombre premier de la forme $4n-1$ ne divise $A$ soit $A$ est premier de la forme $4n+1$ ou ses diviseurs premiers sont de la forme $4n+1$ donc $A\equiv 1\ [4]$.

On a donc, à la fois, $A\equiv 1\ [4]$ et $A\equiv -1\ [4]$ ce qui est impossible donc la supposition que le nombre de nombres premiers de la forme $4n-1$ est fini conduit à une contradiction, par conséquent il est infini.